Введение. 
Фазовые кривые однородной системы линейных дифференциальных уравнений

Очень многие природные процессы удается научно исследовать, моделируя их с помощью дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Поэтому теория дифференциальных уравнений — это важная прикладная математическая наука.

Среди всевозможных дифференциальных уравнений самыми простыми и доступными для изучения являются линейные уравнения, а самые простые среди линейных уравнений — уравнения с постоянными коэффициентами. Несмотря на их простоту, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют достаточно богатую теорию (особенно в случае систем) и являются важным прикладным инструментом.

Цель курсовой работы рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на плоскости.

Задача курсовой работы исследовать фазовые кривые одной конкретной системы. Она решается во втором разделе основной части работы, в первом разделе излагаются необходимые определения и результаты из теории.

При написании этой работы использовалась учебная литература. Список использованной литературы приведен в конце работы.

Необходимые теоретические сведения

Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в общем случае имеет вид.

Здесь — неизвестные функции, () — известные коэффициенты (вещественные числа). Если обозначить вектор неизвестных функций через, а матрица коэффициентов через, то систему можно переписать в векторно-матричном виде.

Если в этой записи понимать как обычную функцию, а не вектор, а — как число, то, как известно, общее решение такого уравнения имеет вид:

где — произвольная константа. Оказывается, что подобным образом можно записывать и общее решение системы дифференциальных уравнений, только если является матрицей, то надо определить, что такое .

Рассмотрим случай .

Тогда однородная система приобретает вид.

Чтобы найти ее общее решение, надо найти собственные числа матрицы. Для этого решается характеристическое уравнение:

относительно параметра. Подробно расписывая левую часть характеристического уравнения, мы видим, что она представляет собой многочлен второй степени относительно :

В зависимости от значений коэффициентов этот многочлен может иметь два различных вещественных корня, один двукратный вещественный корень (в том случае, если выражение является полным квадратом), или же, наконец, два комплексно сопряженных корня. Поведение решений системы (каждому решению геометрически соответствует кривая на плоскости, которая называется фазовой кривой) зависит именно от корней характеристического уравнения, причем не только от того, вещественные они или комплексные, различные или совпадающие, но и от знака каждого вещественного корня, а в случае комплексных корней — от знака вещественной и мнимой части. Здесь возможно много разных вариантов, и соответственно выделяется много типов поведения фазовых кривых.

Однородная система всегда имеет стационарное (то есть постоянное) нулевое решение:. Про него еще говорят, что оно определяет точку равновесия системы. Особое внимание уделяется тому, является ли нулевое решение устойчивым, то есть удаляются ли от него или, наоборот, стремятся к нему остальные решения системы, когда аргумент стремится к бесконечности. Ответ на этот вопрос полностью определяется знаками вещественных частей собственных чисел матрицы: если хотя бы одно из собственных чисел положительно или имеет положительную вещественную часть, то нулевое стационарное решение неустойчиво, то есть существуют решения, которые при убегают от точки равновесия в бесконечность. Если оба собственных числа имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение асимптотически устойчиво: все остальные решения стремятся к нулю при. Если же оба собственных числа имеют нулевые вещественные части, или одно равно нулю, а другое отрицательно, то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически: в этом случае никакие решения не убегают от точки равновесия в бесконечность, но и не все стремятся к нулю: есть такие решения, которые остаются от нуля на конечном расстоянии. Случай, когда одно или оба характеристических числа нулевые, интересен тем, что в этом случае, кроме нулевого положения равновесия, система имеет и другие стационарные точки. Чтобы их найти, надо найти собственный вектор нулевого собственного значения, то есть решить векторно-матричное уравнение.