Дискретные случайные векторы

Случайный вектор (^_t, …, ?") называется дискретным «-мерным случайным вектором, если ?,_1;…, с,_п являются дискретными случайными величинами. Обозначим через (^xk_v^xk₂,…»^хк,)< h = 1, 2,…} множество возможных значений.

«-мерного случайного вектора (?,],?,») и пусть нам известны вероятности событий.

Так как U… U (^ = хд,.), i = 1," является достоверным.

^Д*1 -ч, '.

событием, и события, стоящие под знаком объединения, попарно несовместны, то.

Зная вероятности (2.21), можно определить функцию распределения случайного вектора ({,_ь…, с,"). В самом деле, событие {?,] < X),< х"} можно представить в виде объединения попарно непересекающихся событий.

где объединения производятся по всем темх^,…, x/_v для которых выполнены неравенства Хд,₍ < х₍, Хд,_я < х", поэтому.

Вероятности (2.21) задают дискретный, «-мерный случайный вектор и это является более удобной формой задания (по сравнению с функцией распределения) распределения дискретных векторов.

Пример 2.12. Выразить через вероятности (2.21) вероятность события

Решение. Вероятность указанного события можно представить в виде объединения попарно непересекающихся событий.

поэтому.

• 2.2. Распределение случайных векторов
• 59

Пример 2.13. Пусть (^, ?₂) дискретный двумерный случайный вектор. Обозначим через (Xj, г/₇), г = 1,2 …j =1,2 …, его возможные значения, а через вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина примет значение л, а случайная величина ^ примет значение y_v Найти распределение случайной величины и случайной величины.

Решение. Возможными значениями случайной величины ^ будут Х, Х2, … Найдем вероятности, с которыми она принимает эти значения. Событие можно представить в виде объединения попарно несовместных событий.

Аналогично находим поэтому.

Замечание 2.2. Если (?|, ?,₂) дискретный двумерный случайный вектор с конечным числом возможных значений (Xj, yj), i = 1,…, k, j = 1,…, n_y то вероятности.

сводятся в табл. 2.3, которая называется таблицей распределения. В этой таблице на пересечении i-й строки и j-го столбца стоят вероятности Ру = Р{^ = х_1У ⁼ У]}-

Таблица 23

Пример 2.14. Задана табл. 2.4 распределения случайного вектора (?], ^₂) — Найти распределение случайной величины и вероятность события {6 < < 9, 20 < ^ < 45}.

Таблица 2.4

Решение. Распределение случайной величины ф находим, используя формулу (2.24). В соответствии с ней вероятность события {?,] = .г,} равна сумме вероятностей, стоящих в г-й строке, т. е.

Вероятность события {6 < < 9,20 < < 45} находим по формуле (см. пример 2.12). Полагая в ней п = 2, х[ = 6, х'{ = 9, х{ = 20, х-'{ = 45, получаем.