Обмен ключам Дифф-Хельмана на эллиптических кривых

В полной аналогии с обычной обмена ключами Дифф-Хальмана (DHKE), теперь мы можем реализовать обмен ключами с использованием эллиптических кривых. Это называется обмена ключами эллиптических кривых Дифф-Хельмана или ECDH. Во-первых, мы должны согласовать параметры области, который подходит эллиптической кривой над которым мы можем работать, и примитивный элемент на этой кривой.

Параметры обасти ECDH.

1. Выберите простое число р и эллиптической кривой.

E: y2 ?x3 +a· x+b mod p

2. Выберите примитивный элемент P = (xP, yP).

Параметр р, кривая, заданная ее коэффициенты a, b, и примитивный элемент P являются доменными параметры.

Обратите внимание, что на практике найти подходящую эллиптическую кривую являетсяотносительно сложной задачей. Кривые должны показать определенные свойства, чтобы быть безопасным. Подробнее об этом будет ниже указанной. Фактический обмен ключами осуществляется так же, как это было сделано для обычного протокола Дифф-Хельмана.

Правильность расчётов легко доказать.

Доказательство:

Алиса считает пока Боб считает.

aB = a(bP).

bA = b(aP).

Так как сложение точек ассоциативно (помните, что ассоциативность является одним из свойств группы), вычисление с обеих сторон дают тот же результат, а именно точку.

TAB = abP.

Как видно в протоколе, Алиса и Боб выбирают закрытые ключи a и b, соответственно, два большие целые числа. С помощью закрытых ключей генерируют свои соответствующие открытые ключи, А и В, которые являются точками на кривой. Открытые ключи вычисляются путем умножения точки. Обе стороны меняются этими открытыми параметрами друг с другом. Совместный секрет TAB Затем вычисляется по Алиса и Боб, применяя вторую точку умножение с участием открытого ключа они получили и их собственный секретный параметр. Совместное секретное TAB можно использовать для получения ключа сеанса, например, в качестве входных данных для алгоритма AES. Заметим, что две координаты (xAB, yAB) не являются независимыми друг от друга: Зная xAB, другой координаты могут быть вычислены, просто вставив х значение в эллиптическое уравнение кривой. Таким образом, только один из двух координат следует использовать для вывода ключа сеанса. Давайте посмотрим на пример с небольшими числами:

Пример 3.5.

Рассмотрим ECDH со следующими параметрами обмена. Эллиптическая кривая y2 ?x3 +2x+2 mod 17, которая образует циклическую группу порядка #E = 19 базовая точка Р = (5,1). Протокол переходит следующим образом:

Два скалярных умножения. И каждый Алиса и Боб требуют алгоритм сложения и удвоеннх.

Один из координат совместной тайной TAB теперь может быть использован в качестве ключа сеанса. На практике, часто в координаты Х перемешиваются и затем используются в качестве симметричного ключа. Типически, не все биты необходимы. Например, в 160 -битной схеме ECC смешивание х-координаты с SHA- 1 приводит к 160- битовый выход из которой только 128 будут использоваться в качестве ключа AES.