Приближение функций и представление данных

Теория приближения функций включает в себя два типа проблем. Первая проблема возникает, когда функция задана явно, но требуется найти другую функцию, с которой в данной ситуации удобнее работать. Вторая проблема касается задачи определения функции, принадлежащей некоторому классу, которая описывает заданный набор данных «наилучшим», в некотором смысле, образом. Мы начнем с рассмотрения этой проблемы.

Метод наименьших квадратов

Пусть имеется некоторый набор экспериментальных данных, например, приведенный в табл. 8.6, и мы хотим построить функцию, описывающую эти данные. На рис. 8.6 приведено графическое представление данных из табл. 8.6.

Таблица 8.6

Рис. 8.6. Графическое представление данных из табл. 8.6

Интерполяция требует, чтобы интерполяционная функция принимала значения у_п в точках х_п для каждого п= 1,8. В данном случае требовать выполнения этого условия не имеет смысла, так как исходные данные не являются точными, а включают в себя погрешность измерений. Из графика видно, что, на самом деле, у зависит линейно от х. Поэтому вместо интерполяции лучше использовать другой подход, а именно: построить линейную функцию, которая будет иметь «наименьшее» (в некотором смысле) отклонение от заданных значений, но, возможно, не проходить ни через одну точку.

Пусть f_n = ах_п + b обозначает значение линейной функции в точке х_п и у_п есть данное значение в этой точке. Задачу определения линейной функции, которая описывает заданный набор данных, можно сформулировать следующим образом: найти такие значения коэффициентов а и b, чтобы ошибка

была минимальной. Условие минимума ошибки записывается в виде двух уравнений:

и

Преобразование этих выражений приводит к системе уравнений для коэффициентов а и Ь, имеющей вид.

Решая эту систему, получим явные выражения для коэффициентов а и b:

где.

Рассмотренный нами подход называется методом наименьших квадратов.

Пример 8.6 (построение линейной зависимости методом наименьших квадратов) Рассмотрим данные, приведенные в табл. 8.5. В этом случае решение системы уравнений (8.13) дает а ~ 0.4937 и b ~ 0.0943. График линейной функции f= ах + b и исходные данные показаны на рис. 8.7. При этом ошибка полученного приближения 1.9 Ю" ².

Аналогичным образом можно построить полином.

степени М < N — 1, который приближает некоторый набор данных (х_ю у_п), п = 1, N. В этом случае коэффициенты ац, а 14 выбираются таким образом, чтобы ошибка

Рис. 8.7. Линейная функция, приближающая данные из табл. 8.6:

О — данные;—приближение по методу наименьших квадратов была минимальной. Тогда условия = 0 для каждого зна;

оа_т

чения т= 1,…, М приводят к следующей системе линейных уравнений для М + 1 неизвестных а_т:

Эта система уравнений имеет единственное решение при условии, что все х_п различны.

В общем случае метод наименьших квадратов можно применить для приближения набора данных (х_п, у_п), п = 1,…, N некоторой произвольной функцией /(х, а₀, …, а_м). Однако в этом случае задача становится значительно сложнее, так как минимизация ошибки приводит к системе нелинейных уравнений для коэффициентов а₀, …, а_м. Иногда можно обойти это затруднение, преобразуя исходные данные и аппроксимирующую функцию. Например, предположим, что функция /(.г, a, b) = а ехр (-Ьх) приближает некоторый набор данных. Стандартная процедура предполагает выбирать параметры а и b из условия минимума ошибки

но в данном случае лучше записать ошибку в следующей форме:

Теперь мы можем минимизировать ошибку е^ относительно параметров 1п (а) и Ь, что дает линейную систему уравнений для этих параметров, аналогичную системе (8.13).

Пример 8.7 (построение полинома методом наименьших квадратов) Рассмотрим данные, приведенные в табл. 8.7.

Таблица 8.7

Предположим, что эти данные можно приближенно описать полиномом третьей степени. Тогда решение системы (8.14) при М = 3, N= 11 даст следующие значения коэффициентов этого полинома:

Рис. 8.8. Кубический полином, полученный методом наименьших квадратов, для данных из табл. 8.7:

О — данные;—приближение по методу наименьших квадратов.

I la рис. 8.8 показан график полинома Р^(х) = 0.009 + 1,7738л: — - 1.1926л;² + 0.2817а:³ вместе с исходными данными из табл. 8.7. Ошибка полученного приближения равна.