Метрические пространства мультимножеств

Метрические пространства мультимножеств были введены в работах [Петровский, 1995, 2003]. Определяются следующие операции над мультимножествами:

объединение AB = {k_AB (x)?x | k_AB (x)=max (k_A(x), k_B(x))};

пересечение AB = {k_AB (x)?x | k_AB (x)=min (k_A(x), k_B(x))};

сложение A+B = {k_A+B(x)?x k_A+B(x)=k_A(x)+k_B(x)};

вычитание AB = {k_AB(x)?x k_AB(x)=k_A(x)k_A?B (x)};

симметрическая разность AB = {k_AB(x)?x k_AB(x)=|k_A(x)k_B(x)|};

дополнение = ZA = ?x =k_Z(x)k_A(x);

умножение на число t*A = {k_t*A(x)?x k_t*A(x)=tk_A(x), tZ₊};

умножение А*В = {k_А*В(x)?x k_А*В(x) = k_A(x)k_B(x)};

п-ая степень А^п = {k_Аn (x)?x k_Аn (x) = (k_A(x))^п};

прямое произведение AB = {k_AB?x_i, x_j k_AB=k_A(x_i)k_B(x_j), x_iA, x_jB};

прямая п-ая степень (A)ⁿ ={k_(А)n?x₁,…, x_п | k_(А)n=k_A(x₁)… k_A(x_n), x_iA},.

где x₁,…, x_n — кортеж n элементов.

Мультимножество называется пустым, если k (x)=0, и максимальным Z, если k_Z(х)=max_AAk_A(х), xG. При переходе от мультимножеств к множествам и замене k_A(x) на _A(x) многие из выше определенных операций с мультимножествами останутся справедливыми и для множеств, но некоторые из них могут изменить или потерять смысл. Например, операции арифметического сложения и умножения на число для множеств неопределимы, вычитание множеств определяется иначе, а арифметическое умножение множеств будет совпадать с их пересечением. Различные классы метрических пространств мультимножеств (A, d) задаются следующими метриками (псевдометриками):

d_1p(A, B) = [m (AДB)]^1/p; d_2p(A, B) = [m (AДB)m (Z)]^1/p;

d_3p(A, B) = [m (AДB)m (AB)]^1/p, (2).

где p — целое число, m — мера мультимножества, действительная неотрицательная функция, заданная на алгебре мультимножеств L (Z).

Алгеброй мультимножеств называется семейство мультимножеств L (Z), замкнутое относительно операций объединения, пересечения, сложения, вычитания и дополнения. Максимальное мультимножество Z является единицей алгебры, а пустое мультимножество — нулем. Мера мультимножества m обладает свойствами: m ()=0; сильная аддитивность m (_iA_i)=_im (A_i); слабая аддитивность m (_iA_i)=_im (A_i) для A_iA_j=; монотонность m (A)m (B)AB; симметричность m (A)+m ()=m (Z); непрерывность m (A_i)=m (A_i); эластичность m (t*A)=tm (A).

Меру мультимножества можно ввести различными способами, например, как мощность мультимножества m (A)=A=_ik_A(x_i) или как линейную комбинацию функций кратности m (A)=_iw_ik_A(x_i), w_i>0. В этом случае метрики приобретают вид:

d_1р(A, B) =;

d_2p(A, B) =, w'_i=w_i/k_Z(x_j);

d3p (A, B) =.

Назовем соответствующие метрики основной, полностью усредненной и локально усредненной. Основная метрика d_1p(A, B) является метрикой типа Хемминга, традиционно используемой во многих приложениях. Полностью усредненная метрика d_2p(A, B) характеризует различие между двумя мультимножествами A и B, отнесенное к расстоянию, максимально возможному в исходном пространстве. Локально усредненная метрика d_3p(A, B) задает различие, отнесенное к максимально возможной «общей части» AB только этих двух мультимножеств в исходном пространстве. Функции d_2p(A, B) и d_3p(A, B) удовлетворяют условию нормировки 0d (A, B)1. Функция d_3p(A, B) не определена для A=B=, поэтому по определению принимается d_3p(,)=0.

При замене k_A на _A метрические пространства измеримых мультимножеств превращаются в соответствующие метрические пространства измеримых множеств, которые будут обладать многими аналогичными свойствами. Так, основная метрика вида d₁₁(A, B)=m (AB) или d₁₁(A, B)=|AB| приведена во многих монографиях по теории множеств и называется расстоянием Фреше-Никодима-Ароншаяна или метрикой меры. Локально усредненная метрика d₃₁(A, B)=m (AB)/m (AB) называется расстоянием Штейнхауса, а d₃₁(A, B)=|AB|/|AB| - биотопическим расстоянием [Деза, Лоран, 2001]. Расстояние между множествами вида d₁₂(A, B)=[m (AB)]^½ упомянуто в книге [Орлов, 1979]. Семейства метрик общего вида d_1p(A, B)=[m (AB)]^1/р, d_2p(A, B)=[m (AB)/m (Z)]^1/р и d_3p(A, B)= =[m (AB)/m (AB)]^1/р в пространствах измеримых множеств и измеримых мультимножеств введены впервые автором [Петровский, 2003].