Анализ множественных связей

Ранее анализировались парные связи между случайными количественными переменными X и Y. Сила связи оценивалась с помощью парного (полного) коэффициента корреляции г = г^. При одновременном наблюдении над большим числом случайных величин (Х_ЬХ₂,…) взаимосвязь между переменными усложняется.

Частный (условный) коэффициент корреляции

Парный коэффициент корреляции г,-, — между случайными переменными Х₍ и X нельзя использовать как абсолютный показатель тесноты связи. Наличие корреляции еще не означает наличия причинно-следственных связей между величинами. Например, ложная положительная корреляция может возникнуть в случае, когда обе величины X_t, Xj являются следствиями единой причины — зависимостью их от Х_ь в то время как при фиксированном Х_к эти величины статистически независимы.

Поэтому при изучении связи между двумя величинами X_it Xj из многомерной совокупности необходимо исключить влияние других величин Х_к, т. е. установить тесноту связи при фиксированном значении Х_к. В этом случае используется частный, или условный, коэффициент корреляции величин (Xj, Xj), без учета влияния Х_к, иначе — частный коэффициент первого порядка

где г,-, r_ik, r_)k — парные коэффициенты корреляции. Величина r_i]k нормирована и находится в пределах от -1 до +1. В случае независимости X_t и Xj от Х_к имеем r_ik = = 0 и Гц = r_{ij k}.

Таким образом, частный коэффициент корреляции между двумя переменными позволяет оценить степень тесноты линейной связи, очищенной от опосредованного влияния других факторов.

Для четырех переменных можно вычислить частные коэффициенты корреляции второго порядка за счет исключения коэффициентов первого порядка.

Вычисление частного коэффициента корреляции r_{yj X} порядка р выполняется после вычисления частного коэффициента корреляции порядка р — 1 и в конечном счете — после вычисления парных коэффициентов корреляции. Величина г^_х характеризует долю остаточной дисперсии признака у, полученную добавлением переменной Xj к набору X.

Множественный (совокупный) коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции является мерой тесноты статистической связи любой формы между одной случайной переменной Y и множеством других переменных Х_ь Х₂, …, Х_р. Выборочное значение множественного коэффициента обозначается через R_y|_X. Он определяется аналогично измерителю парной связи — индексу корреляции 1_ух — через множественный коэффициент детерминации

Величина R^_x характеризует долю влияния выбранных переменных^, Х₂, …, Х_р на общую дисперсию переменной у. Величина же является долей стандартного отклонения у, которая зависит от неизвестных переменных не входящих в состав X. Поэтому если R_y|_X=0,9, то Таким образом, даже при весьма высокой силе связи 44% стандартного отклонения у остается необъясненным.