Статистическое моделирование систем на ЭВМ

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел.

Метод статистических испытаний — это метод решения невероятностной проблемы вероятностным способом. Часто его называют методом Монте-Карло, по названию проекта США по ядерной технике, где он был впервые предложен. Явное представление времени здесь отсутствует. Суть метода в том, что процесс описывают формулами и логическими выражениями на ЭВМ. Затем в модель вводят случайно изменяющиеся факторы и оценивают их влияние на показатели процесса. Результаты оценки подвергают статической обработке. Идею этого метода покажем на примере расчета площади криволинейной фигуры (рис. 2).

При традиционном подходе строят аналитическую зависимость Y=ц (X), по которой рассчитывают площадь фигуры (рис. 2). На этом прямоугольнике в случайном порядке разбрасывают точки. Затем оценивают, какая доля всех точек попала внутрь фигуры. Эта доля соответствует доле площади фигуры от рассчитанной площади прямоугольника. Чем больше точек, тем точнее можно определить площадь фигуры.

Метод статистических испытаний, как первый и широко распространившийся метод имитационного моделирования, часто вообще считают единственным методом имитации систем. Динамику системы описывают на универсальном языке программирования в виде последовательности уравнений с детерминированнымиХ и случайными ~X (Дt) коэффициентами (рис. 3). Время моделирования разбивают на одинаковые шаги Дt.

На каждом шаге Дt изменяют значения случайных коэффициентов ~X(Дt), для которых по уравнениям рассчитывают изменения выходной величины ~Y(Дt). Каждый эксперимент представляет собой расчет уравнений с шагом Дt. В результате выявляют связь выходных величин с входными величинами.

Поскольку шаг времени Дt выбирают для самого быстрого элемента системы, то в результате моделирования получают много ненужной информации для шагов, когда никаких изменений этого элемента в системе не происходит. Кроме того, разработка имитационной модели на универсальном языке программирования требует специальной квалификации и часто остается без изменений в системе.

Существуют две области применения метода статистического моделирования:

• — для изучения стохастических систем;
• — для решения детерминированных задач.

В настоящее время моделирование по методу Монте-Карло широко применяется при решении определенных задач статистики, которые не поддаются аналитической обработке. Этот тип моделирования применялся для оценки критических значений или достоверности критерия при проверке гипотезы.

Задача 1. имитационная модель оптимизация управление Методом статического моделирования найти оценку площади фигуры, ограниченной линиями.

Структурная схема системы:

В1 — вычисление.

А — анализ.

если y_i? f_i

в противном случаеС — суммирование.

Для решения задачи воспользуемся программным модулем MathCad с использованием функции rnd (x) в данной модели n-число наблюдений.

Обработка результатов: для изучения статической ошибки при моделировании, задача решалась для различных значений n, равных 150, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10 000. Кроме того, при каждом n было проведено 10 прогонов.

№ прогона.	Оценка S фигуры при n =.
	14,333.	12,25.	13,4.	12,75.	14,25.	13,3.	13,425.
		12,75.	12,3.	12,05.	12,875.	13,14.	13,505.
		14,25.	13,3.	13,45.	13,325.	13,66.	13,595.
	10,333.	13,25.	14,9.	14,1.	13,75.	12,32.	13,575.
	14,667.	10,75.	13,8.	13,85.	13,475.	13,35.	13,225.
	9,667.	10,5.	13,4.	13,55.	12,925.	13,64.	13,385.
	14,333.	12,25.	15,1.	13,65.	12,975.	13,43.	13,57.
		12,25.	12,7.	12,15.	13,425.	13,17.	13,145.
	12,667.		13,2.	13,85.	13,45.	13,72.	13,305.
		13,25.	14,3.	12,9.	13,6.	14,31.	13,355.
среднее.	13,3.	12,35.	13,64.	13,23.	13,4.	13,4.	13,405.
дисперсия.	5,8 612 661.	1,281.	0,809.	0,528.	0,176.	0,262.	0,024.
Точное значение.	13,4.	13,4.	13,4.	13,4.	13,4.	13,4.	13,4.

Вывод:

С ростом числа генерированных точек оценка S фигуры приблизительно равна точному значению. Сначала оценки колеблются около точного значения, потом стабилизируются. Наблюдение является типичным для результата любой имитационной модели.

Влияние переходных условий уменьшаются, если усреднить результат десяти серий, видно, что при увеличении n дисперсия убывает, следовательно отслеживается момент, при n дисперсия резко уменьшается.

Последнее замечание указывает на то, что существует предел, за которым увеличение продолжения прогона модели уже не дает существенного повышения точного результата, измеряемого дисперсией.

Это замечание важно, поскольку затраты на эксплуатацию имитационной модели прямо пропорциональны продолжению прогона и показывает графическую дисперсию в зависимости от числа прогонов.

Ввиду того, что оценки S имеют разброс, необходимо выразить результат эксперимента связанный с моделированием в виде доверительных интервалов.