Заключение. 
Интерполяция разрывных функций с помощью сплайнов

Целью данной работы был анализ методов интерполяции разрывных функций, а также функций, имеющих разрыв производных до второго порядка включительно, с помощью кубических сплайнов дефекта 1.

Были рассмотрены следующие варианты:

Естественный кубический сплайн;

Кубический сплайн с дополнительными узлами;

Метод введения величины скачка в построение кубического сплайна.

Для некоторых случаев приведена теоретическая оценка погрешностей интерполяции.

Кроме того, были проанализированы практические реализации вышеуказанных методов, разработанные с помощью языка С# и платформы .NET.

Для каждого метода были разработаны соответствующие алгоритмы, собранные в единый проект. Однако, следует заметить, что каждый разработанный алгоритм является полностью самостоятельным и может быть использован в любой другой программе. Также, для наглядности в проект была включена графическая составляющая, представляющая собой график интерполируемой функции и график соответствующего сплайна. Для графического представления в проекте была использована библиотека ZedGraph.

Реализованные методы применимы для решения задач интерполяции, где требуется высокая скорость вычислительных процессов и/или низкая затратность ресурсов ЭВМ.

Однако, следует учитывать, что для некоторых задач, где требуется высокая точность вычислений представленные реализации следует использовать с осторожностью, в силу возможных ошибок вычисления, связанных с реализацией компилятора и чисел с плавающей запятой. Такими задачами, например, могут быть задачи анализа экономических процессов или каких-либо финансовых вычислений.

В ходе практического анализа было выведено: для разрывных функций лучше всего применять метод введения скачка, однако в случае с разрывами производных его применение является не очень целесообразным, т.к. при достаточно малом шаге, при выборе узлов сетки, работа метода мало отличается от естественного кубического сплайна. Что касается метода с дополнительными узлами, то, несмотря на теоретическое обоснование, его реализация на ЭВМ порождает дополнительные погрешности, которые в некоторых случаях сводят на нет суть метода, а в отдельных заметно ухудшают результаты. Хотя метод с дополнительными узлами можно использовать, если проводить интерполирование не всего интересующего промежутка, а частей, на которых интерполируемая функция непрерывная вплоть до второй производной. Также возможна реализация метода с дополнительными узлами с помощью других стандартов представления чисел с плавающей запятой, которая, возможно, даст лучшие результаты.