Основные сведения. 
Ряды Фурье

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом ф в виде ряда.

Этот ряд может быть также переписан в виде.

.

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число, что при любом значении х выполняется равенство. Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в, а этой функции:

• 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
• 2) Если функция f(x) период Т, то функция f(ax) имеет период .
• 3) Если f(x) — периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство

.

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1).

то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

где n=1,2,.. .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.