Примеры ассиметричных распределений

модель статистический программирование вероятностный В данном разделе дадим обзор распределений вероятностей, которые могут быть использованы как компоненты смеси. Перечислим только те распределения, которое представлены в программной библиотеке mixsmsn в соответствии с описанием в [10]. Все данные распределения относятся к специальному классу на основе скошенных нормальных распределений SMSN (Scale Mixtures of Skew-Normal distribution), а модели смесей на основе данных распределений формируют класс моделей FMSMSN (Finite Mixures of Scale Mixtures of Skew-Normal distributions), для которых в указанной библиотеки реализованы алгоритмы моделирования данных и анализа с помощью EM алгоритма.

Приведем полный список распределений реализованных в библиотеке с принятыми сокращениями, которые в качестве параметров при вызове функций: нормальное распределение (Normal), асимметричное нормальное распределение (Skew.normal), асимметричное слеш-распределение (Skew.slash) и асимметричное нормальное распределение з засорениями (asymmetric contaminated-normal — Skew. cn), а также t-распределение Стьюдента (t) и его асимметричная версия (Skew.t). Все данные распределения представлены как для одномерного, так и для многомерного случая.

Скошенное N-мерное нормальное распределение (skew-normal) имеет плотность.

.

где — функция плотности N-мерного нормального распределения с вектором средних и ковариационной матрицей ,.

— функция распределения стандартного нормального закона,.

— вектор параметров смещения (асимметричности).

Определим остальные распределения из класса SMSN.

Определение. Случайный вектор имеет распределение из класса SMSN, если.

.

где — вектор параметров центрального положения,.

— случайный вектор с распределением ,.

U — неотрицательная случайная величина, независимая относительно Z, с функцией распределения , — параметр (вектор параметров).

Согласно определению, маргинальная функция плотности случайной величины Y имеет представление.

.

где выбор функции определяет конкретное распределение из класса SMSN.

Перечислим частные случаи распределения из класса SMSN, которые реализованы в библиотеке mixsmsn и определим, при каких условиях они относятся к классу :

• 1) нормальное распределение, если и ;
• 2) скошенное нормальное распределение, если ;

3) скошенное t-распределение, если — Гамма-распределение;

• 4) скошенное слеш-распределение, если — Бета-распределение;
• 5) скошенное нормальное распределение с засорениями (skew-contaminated normal), если U является дискретной случайной величиной, принимающей с вероятностью значение и с вероятностью и значение 1, где .

Модель смеси FMSMSN задается согласно, где компонент смеси с номером l имеет распределение из класса SMSN согласно с параметрами. При этом будем рассматривать только такие смеси, в которых все компоненты имеют распределения одного типа и параметры смешивающей функции распределения равны: .

Для моделей смесей с распределениями из класса SMSN, которые представлены выше, примем соответствующие обозначения (относительно распределения вероятностей для компонент смеси) нормальное — FMNOR, скошенное нормальное — FMSN, скошенное t-распределение — FMST, скошенное слеш-распределение — FMSSL и скошенное нормальное распределение с засорениями — FMSCN.