Задание. 
Оптимизация управления выращиванием поросят

Постановка задачи

Требуется откормить поросенка с начальной массой m₀ до массы m₁ за период времени 40 дней (t₀ = 1, t₁ = 40) при максимальной экономической эффективности использования кормов и приросте не ниже безопасного для здоровья животного (минимально допустимого прироста).

Объектом управления является поросенок, состояние которого характеризуется фазовыми переменными «масса» и «суточный прирост массы» — фазовый вектор объекта управления является двумерным:

x(t) =( x¹(t), x²(t))

x¹(t) = m (t)

x²(t) = Дm (t)

m (t) — масса поросёнка в момент времени t;

Дm (t) — суточный прирост массы поросёнка в момент времени t.

Время t рассматривается с дискретностью в одни сутки.

В качестве управления выступает кормосмесь.

Класс допустимых управлений задаётся множеством U, включающим набор кормов, разрешённых для составления кормосмеси (см. «Исходные данные к заданию») и удовлетворяющих следующие требования:

• · процентный состав (доля) корма в кормосмеси находится в заданном диапазоне;
• · сумма долей кормов кормосмеси составляет 100%.

u — вектор управления;

K — количество кормов, разрешённых для включения в кормосмесь;

E^K — евклидово K-мерное пространство;

%^k_мин, %^k_макс — границы допустимых значений доли k-го корма в кормосмеси, выраженные в процентах (k [1, K]).

Множество начальных состояний:

M₀ = {x(t₀) E²: x¹= m₀, x² [0.25* Дm_пот0, Дm_пот0]}.

Множество конечных состояний:

M₁ = {x(t₁) E²: x¹? m₁, x² [0.25* Дm_пот1, Дm_пот1]}.

Дm_пот0, Дm_пот1 — потенциальный прирост массы поросёнка соответственно в первый и последний день откорма (вычисляется программой по массе поросёнка).

Необходимым условием оптимальности, позволяющим сузить класс управлений, подозрительных на оптимальность, является ограничение на допустимый суточный прирост массы поросенка:

Дm_i? Дm_{мин i}

i — текущий день откорма;

Дm_i — прирост массы поросёнка, обеспечиваемый кормосмесью в i — тый день откорма;

Дm_{мин i} — минимально допустимый прирост массы поросёнка в i — тый день откорма.

Минимально допустимый прирост определяется выражением:

Дm_минi = 0.25* Дm_потi,

где Дm_потi — потенциальный прирост массы поросёнка в i — тый день откорма (вычисляется программой по массе поросёнка).

Перенося необходимое условие оптимальности на множество допустимых управлений, находим подмножество управлений U_необх, удовлетворяющих необходимое условие оптимальности:

U_необх U

За функционал качества принимается стоимость кормов, расходуемых на одного поросёнка за период откорма:

C_{рац i} — стоимость рациона в i-тый день откорма; i [t_0, t₁].

При откорме поросят при движении от t₀ к t₁ оплата корма снижается, так как при этом отношение массы поросёнка к приросту возрастает и, соответственно, увеличивается доля рациона, идущая на поддержание жизни животного. Поэтому при решении поставленной задачи с целью минимизации расхода кормов следует прирост массы в конце периода делать минимальным. Основываясь на сказанном, поиск оптимального управления следует выполнять в следующей последовательности (рисунок 1):

Рисунок 1 Иллюстрация к работе алгоритма оптимизации управления при откорме животных.

• · Найти траекторию изменения во времени массы поросёнка при движении с М₀ к М₁ с максимальным приростом (на рисунке — траектория «t₀ t_1») при минимальной стоимости кормов; оценить управляемость объекта.
• · Если управляемость существует, то начать выполнять движение с М₁ к М₀ с минимально допустимым приростом (на рисунке — траектория «t₁ t_0») при минимальной стоимости кормов.
• · В точке пересечения текущей траектории (нисходящей) с траекторией, найденной на предыдущем шаге (восходящей), поиск оптимального управления заканчивается. За оптимальное принимается управление, обеспечивающее движение по восходящей фазовой траектории до точки пересечения, и далее по траектории с минимальным приростом (нисходящей).

Выполнение работы

3.1. Конкретизировать описание задачи по заданным исходным данным. Из задания.

Объектом управления является поросенок, состояние которого характеризуется фазовыми переменными «масса» и «суточный прирост массы» — фазовый вектор объекта управления является двумерным:

x(t) =( x¹(t), x²(t))

x¹(t) = m (t)

x²(t) = Дm (t)

m (t) — масса поросёнка в момент времени t;

Дm (t) — суточный прирост массы поросёнка в момент времени t.

Время t рассматривается с дискретностью в одни сутки.

В качестве управления выступает кормосмесь.

x¹(t)=26,4.

x²(t) = Дm (t)=429.

U=(u E3, 0.

Исходные данные к заданию

m₀ = 22 + 0.4*В= 26,4, m₁ = 32 + 0.4*В=36,4;

• 1. Молоко цельное, сухое, (0 — 25)%
• 2. Кукуруза, (0 — 80)%
• 3. Кк-П-30сохр_эп (комбикорм) (0 — 90)%
• 3.2. Используя демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ — Кормление свиней» (позиция меню «Планирование. Планирование кормосмеси. Задание кормосмеси вручную»), подобрать управление для откорма поросенка до массы m1, добиваясь максимума прироста при минимальной стоимости кормов.

алгоритм управление откорм поросенок

Указание. По каждому дню откорма i определять массу поросенка:

m_i = m_i-1 + Дm_i-1

i = 2, 3, …; i [2, 40];

Дm — суточный прирост массы поросенка (определяется в результате анализа с помощью компьютерной программы);

Для первого дня откорма принять m_i = m₀.

3.3. Если управляемость объекта по его переводу из множества M0 на множество M1 существует, найти условное управление для перевода объекта из множества M1 на траекторию «t0 t1» при минимальных приростах массы поросёнка и минимальной стоимости кормов (перемещаться по траектории «t1 t0» до пересечения с траекторией «t0 t1» — см. рисунок).

Масса поросёнка для предыдущего шага откорма определяется выражением:

m_i-1 = m_i — Дm_i

• 3.4. Построить «рабочую» и оптимальную траектории изменения во времени массы поросёнка (по аналогии с рисунком 1).
• 3.5. На фазовой плоскости изобразить множества М₀ и М₁; построить оптимальную фазовую траекторию объекта.
• 3.6. Описать найденное управление u*(t) и фазовую траекторию объекта x*(t).
• 3.7. Вычислить значение функционала качества.
• 3.8. По выполненной работе подготовить печатный отчёт, проиллюстрировав ход выполнения работы и полученные результаты рабочими таблицами, графиками и копиями экранов.

Указание. Демонстрационную версию программы «КОРАЛЛ — Кормление свиней» запустить с сайта www. korall-agro.ru.

Через позицию меню «Сервис. Настройка программы» подключить функцию «Оптимизация и анализ кормления вволю».