Решение задачи в системе MATLAB

Пример для диодной структуры Рассмотрим кратко основные этапы решения задачи в PDE Toolbox на примере расчета распределения электрического потенциала в автоэмиссионной диодной ячейке см. рисунок 4.1.

Рисунок 4.1 — Диодная структура.

Ячейка представляет собой двухэлектродную структуру, содержащую катод со скругленным на конце выступом и расположенный над ним анод. Будем полагать, что объемный заряд в межэлектродном пространстве отсутствует и распределение потенциала ц (x, y) подчиняется уравнению Лапласа.

?І ц (x, y) / ?xІ + ?І ц (x, y) / ?yІ = 0.

На первом этапе необходимо сформировать исходную геометрию задачи в графическом окне интерфейса PDETool см. рисунок 4.2.

Рисунок 4.2 — Подготовка изображения двухэлектродной структуры в окне PDETool.

Показанная на рисунке 4.2 геометрия структуры составлена из набора геометрических фигур — прямоугольника R1, окружности E1 и многоугольника P1.

Изображения электродов формируются с помощью команд пункта Draw (Рисовать) главного меню: Draw Mode — переключение в режим ввода (прорисовки) геометрии; Rectangle/square — ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его верхней левой вершины; Rectangle/square (centered) — ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его центра; Ellipse/circle — ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от верхней левой точки; Ellipse/circle (centered) — ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от центра; Polygon — прорисовка многоугольника отрезками ломаной линии, пока она не станет замкнутой; Rotate — поворот выделенных объектов вокруг некоторой точки; Export Geometry Description, Set Formula, Labels — экспорт в базовую рабочую область MATLAB переменных описания геометрии. Быстрый вызов некоторых из этих команд обеспечивают элементы инструментальной панели и — прямоугольник (квадрат), и — эллипс (круг), — многоугольник.

Для получения изображений произвольной формы служит строка «Set formula», располагающаяся под инструментальной панелью. В ней можно задать слияние нескольких фигур или «вычесть» их друг из друга используя. В данном случае используется формула R1-P1-E1, где R1 — прямоугольник (квадрат), P1 — многоугольник, E1 — эллипс (круг).

Команды для редактирования изображения и настройки графического окна содержатся в следующих пунктах главного меню. Edit (Правка) содержит команды: Undo — отмена последнего действия; Cut — вырезать выделенный геометрический объект и поместить его в буфер; Copy — копировать выделенный объект в буфер; Paste — вставить геометрический объект из буфера; Clear — удалить выделенный объект; Select All — выделить все геометрические объекты.

Options (Опции) содержит команды: Grid — показать / скрыть координатную сетку; Grid Spacing — установить пределы и шаг сетки; Snap — округлять координаты указателя мыши; Axes Limits — установить пределы координатных осей; Axes Equal — установить одинаковый масштаб по осям x и y; Turn Off Toolbar Help — выключить подсказки по инструментальной панели; Zoom — показать с увеличением выделенную часть модели; Application — переключение вида задачи; Refresh — обновить изображение модели.

Второй этап включает ввод граничных условий на граничных сегментах см. рисунок 4.3 и параметров уравнения. Определить условие на любом из сегментов можно, выделив его двойным щелчком левой кнопки мыши. Соответствующие команды располагаются в разделах Boundary и PDE главного меню.

Boundary (Границы) содержит команды: Boundary Mode — ввод граничных условий; Specify Boundary Conditions — ввод параметров граничных условий; Show Edge Labels — показать номера граничных сегментов; Show Subdomain Labels — показать номера зон; Remove Subdomain Border — удалить границу зон; Remove All Subdomain Borders — удаление всех границ зон; Export Decomposed Geometry, Boundary Cond’s — экспорт в рабочую область MATLAB переменных описания граничных условий.

PDE (Уравнение) содержит команды: PDE Mode — переключение в режим ввода параметров уравнения; Show Subdomain Labels — показать номера зон; PDE Specification — ввод параметров (коэффициентов) уравнения; Export PDE Coefficients — экспорт в базовую рабочую область переменных, описывающих PDE коэффициенты в расчётной области. Переход к выполнению этих команд также обеспечивается элементами инструментальной панели — граничные условия и — параметры уравнения.

В качестве граничных условий на нижней и верхней границах зададим электрические потенциалы электродов, то есть условие Дирихле: вверху (на аноде) ц = 1000 В и внизу (на катоде) ц = 0 В. На левой и правой границах зададим условие Неймана? ц/?n = 0 (где n — нормаль к границе), учитывая определенную симметрию задачи. Для ввода условия на каком-либо сегменте границы необходимо его выделить и открыть диалоговое окно «Boundary Condition». В окне следует установить переключатель в режим Dirichlet или Neuman и задать числовые параметры.

Зададим параметры уравнения эллиптического типа, вызвав через меню или панель инструментов диалоговое окно «PDE Specification». Выберем тип уравнения — «Elliptic» Если в списке «Application» установлен режим «Electrostatics» (задача электростатическая), то в окне MATLAB уравнение имеет вид «-div (exgrad (ц))=с», где e диэлектрическая проницаемость, электрический потенциал, объемный заряд. В том случае, когда установлен режим «Generic Scalar» в списке «Application» (задача в обобщенной скалярной форме), запись уравнения в MATLAB имеет вид «-div (c grad (u))+a u=f». Зададим = 1, = 0 (или c = 1, a = 0, и f = 0).

На следующем этапе формируется сетка конечных элементов см. рисунок 4.4. PDE Toolbox поддерживает только симплекс-элементы, для которых характерны линейные функции формы.

Пункт Mesh (Сетка) главного меню включает следующие команды для работы с сеткой: Mesh Mode — переключение в режим построения сетки; Initialize Mesh — генерация сетки; Refine Mesh — сгущение сетки; Jiggle Mesh — регуляризация сетки в пределах установленной величины; Undo Mesh Change — отменить последнее изменение сетки; Display Triangle Quality — отобразить в цвете показатель регулярности конечных элементов; Show Node Labels — показать номера узлов; Show Triangle Labels — показать номера конечных элементов; Parameters — установить параметры генератора сетки; Export Mesh — экспорт сетки в базовую рабочую область.

На рабочей панели этому разделу меню соответствуют элементы — генерация сетки и — сгущение сетки.

Рисунок 4.4 — Формирование сетки.

Следующий этап включает собственно решение задачи и его вывод в графическом виде см. рисунок 4.5. Соответствующие команды располагаются в пунктах Solve и Plot главного меню.

Solve (Решение) содержит команды: Solve PDE — решить краевую задачу; Parameters — установить параметры решателя; Export Solution — экспорт решения в базовую рабочую область. На инструментальной панели разделу Solve соответствует элемент .

Plot (График) содержит команды: Plot Solution — отобразить решение; Parameters — установить параметры отображения решения; Export Movie — экспорт в базовую рабочую область информации, необходимой для анимации решения нестационарной задачи. На панели PDETool имеются элементы — настройка графики и — увеличить фрагмент.

Рисунок 4.5 — Результат решения для двухэлектродной структуры: распределение эквипотенциальных линий ц = const.

Результаты расчета можно сохранить, обратившись к пункту File (Файл) меню, включающему команды: New — создать новую модель; Open — открыть ранее сохранённую в m-файле модель; Save — сохранение модели в m-файле с текущим именем; Save As — сохранение модели в m-файле; Print — печать рисунка; Exit — закрытие приложения PDETool.