Формула Коши. 
Теорема о среднем

Пусть задана f (z), которая аналитична в области G, и задан составной контур, который ограничивают некоторую область .

Тогда для любой внутренней точки справедлива формула:

(1).

Из этой формулы следует, что, зная значение аналитической функции на контуре, можно вычислить значение функции в любой точке, ограниченной этим контуром. Если задать контур в виде окружности с радиусом r в центре точки z, то справедливо равенство:

и формула (1) принимает вид:

(2).

Формула (2) называется формулой среднего значения. Из нее следует, что задание аналитической функции f (z) в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности.

Ряды Тейлора и Лорана

Задана f (z) — аналитическая функция в области G, задан замкнутый контур в. И пусть точка, а точка z является некоторой точкой области. Возьмем произвольную точку а, которая находится в плоскости, тогда формула ряда Тейлора для функции f (z) определяется равенством:

(1).

Теорема: функция f (z) представлена своим рядом Тейлора в любом круге с центром в точке а, на котором она аналитична. Во всякой замкнутой области ряд Тейлора сходится равномерно.

Разложение функции f (z) в ряд Тейлора (1) справедливо для аналитический функций радиуса r. Но иногда приходится рассматривать и другие функции. Например, когда f (z) является аналитической всюду, кроме точки z=a, а областью аналитичности может служить кольцо. Пусть теперь функция f (z) аналитична в этом кольце.

Представим функцию в виде ряда (2), где коэффициенты вычисляются по формуле (3):

(2).

(3).

В формуле (3) — эта любая окружность с центром в точке, а и радиусом, удовлетворяют .

Справедлива следующая теорема:

Пусть f (z) аналитична в кольце, когда он разлагается в ряд Лорана, при этом разложение единственное. Коэффициенты вычисляются по формуле, где — окружность, для которой справедливо это равенство, а радиус окружности удовлетворяет. Полученный ряд сходится равномерно.