Полный факторный эксперимент 23

Предположим, что при комбинации уровней переменных х1, х2, и х3 проводится по одному опыту в каждом варианте испытаний. Функция отклика и…

Допустим, что нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика при трех независимых переменных. Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для ПФЭ типа 22 произведение х1×2 обозначить третьим фактором х3. Будет получена матрица планирования, представленная в табл.6.4.

Таблица 6.4 — Матрица планирования.

Функция отклика имеет вид.

.(6.12).

Эффекты парных и тройного взаимодействия равны нулю, а это позволяет уменьшить число опытов вдвое по сравнению с ПФЭ 23 (N=8) в случае, если бы эти эффекты были бы отличны от нуля.

Матрица плана в этом случае имеет вид.

Матрица D3−1 получена из матрицы D3 ПФЭ 23 путем вычеркивания строк (1, -1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1, -1), (1, 1, -1).

Построенный ДФЭ представляет собой полуреплику (½ реплику) от ПФЭ 23. Матрица D3−1 обладает, как и матрица D3, свойствами симметрии, нормирования и попарной ортогональности:

.

Таким образом, для построения полуреплики 23−1 взяты не произвольные точки плана 23. Переменная х3 в точках плана удовлетворяет соотношению х3=х1×2, которое называется генерирующим. Еще одна полуреплика может быть построена, если взять генерирующее соотношение х3=-х1×2. Чтобы построить матрицу D2−1, следует сформировать матрицу D2 ПФЭ 22, а затем с помощью генерирующего соотношения построить вектор-столбец Х3.

Матрица Х будет ортогонального планирования.

.

МНК — оценки неизвестных параметров j функции (6.12) определяются.

.

Оценки {j } некоррелированы и их дисперсия равна.

.

Для построения дробного факторного плана при N=4 исходим из полного факторного плана 23 для факторов х1, х2 и х3 и дополняем его столбцами, образованными произведениями столбцов плана 23×1×2, х1×3, х2×3, х1×2×3. Эти произведения могут использоваться в качестве генераторов для дробных планов. Используя один из четырех возможных генераторов, можно построить четыре различных дробных плана типа 24−1:

х4 = х1×2, -х1×2; х4 = х1×3, -х1×3; х4 = х2×3, -х2×3; х4 = х1×2×3, -х1×2×3.

По сравнению с 24=16 опытами полного факторного эксперимента полученный дробный план состоит из 24 — 1=8 опытов.

Функции отклика (6.10) ПФЭ 23 соответствует матрица независимых переменных.

Матрица ДФЭ 24−1 с генерирующим соотношением х4=х1×2 будет иметь вид:

Множество D4−1 обладает свойствами симметрии, нормирования и попарной ортогональности, поэтому оценки функции отклика.

имеют единственные решения.

Множество всех генерирующих соотношений для полуреплик 2k-1 совпадает со множеством всех взаимодействий до (k-2)-го порядка включительно, взятых со знаком плюс и минус. Число различных полуреплик 2k-1 определится формулой v=2(2k-1-k).

Наряду с дробным факторным планом 2k-1 в исследованиях могут быть использованы также дробные факторные планы 2k-g. Дробный факторный план 2k-2 называется четверть-репликой от ПФЭ 2k. Для построения четверть-реплики ПФЭ 2k используются два генерирующих соотношения.

Рассмотрим построение четверть-реплики 25−2. Матрица плана D5−2 четверть-реплики строится исходя из матрицы плана ПФЭ 23 с применением двух генерирующих соотношений, определяющих переменные х4 и х5.

Для построения дробной реплики 25−2 может быть использовано 24 варианта генерирующих соотношений, а именно:

• 1) х4 = х1×2, х5 = х1×2×3;2) х4 = х1×2, х5 = - х1×2×3;
• 3) х4 = - х1×2, х5 = х1×2×3;4) х4 = - х1×2, х5 = - х1×2×3;
• 5) х4 = х1×3, х5 = х1×2×3;6) х4 = х1×3, х5 = - х1×2×3;
• 7) х4 = - х1×3, х5 = х1×2×3;8) х4 = - х1×3, х5 = - х1×2×3;
• 9) х4 = х2×3, х5 = х1×2×3;10) х4 = х2×3, х5 = - х1×2×3; и т. д.

Общее число взаимодействий до (k-3)-го порядка включительно определится =2k-3(k-1), а число всех дробных реплик 2k-2 равно .

Воспользуемся генерирующими отношениями х4=х1×2, х5=х1×2×3, построим матрицу дробного факторного плана 25−2.

Примем, что функция отклика имеет вид.

.

матрица независимых переменных является матрицей ортогонального планирования. Оценки неизвестных коэффициентов функции отклика определятся Очевидно, что по сравнению с ПФЭ 25 в ДФЭ 25−2 число опытов уменьшено в четыре раза.

Методом математической индукции можно определить, что число дробных реплик 2k-g равно.

.

где k-(g-1) — число всех взаимодействий до [k-(g+1)]-гo порядка включительно, причем k-(g-1)=2k-g-[k-(g-1)].