Конечные разности. 
Разделенные разности

Пусть функция у = /(х) определена на отрезке [а; b] и известны значения функцииу₀,у_ь у₂, …, у_пв п + 1 точках отрезка [а; Ь]: лг₀, Х, х₂, …, х_ю т. е. справедливы равенства.

Выделим все возможные пары соседних значений функции, в каждом случае вычтем предыдущее значение из последующего. Полученные выражения называются конечными разностями первого порядка, или первыми разност*ши, и обозначаются так:

Конечными разностями второго порядка, или вторыми разностями, называются выражения, которые имеют вид.

Конечными разностями третьего порядка, или третьими разностями, называются выражения вида.

Аналогично определяются все последующие конечные разности п-го порядка:

Разделенные разности первого порядка определяются формулами.

Разделенные разности второго порядка получаются из разделенных разностей первого порядка по формулам.

Аналогично определяются разделенные разности третьего порядка:

Разделенные разности п-го порядка получаются из разделенных разностей (п — 1)-го порядка по формулам.

В случае равноотстоящих узлов с шагом h разделенные разности первого порядка имеют вид.

Для разделенных разностей второго порядка в этом случае получаем формулы.

Для разделенных разностей п-го порядка в этом случае формулы имеют вид.

Пример 4.2.

Найдите конечные и разделенные разности для значений функции в соответствующих узлах интерполяции, приведенных в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Исходные данные к примеру 4.2.

Решение

Проведем вычисления в среде Microsoft Excel. Создадим файл «Интерполяция» и лист 1 переименуем как «Разности». Заметим, что узлы равноотстоящие ий = 3−1=2. В ячейки А4—А8 поместим значениях, в ячейки В4—В8 — значения у,. Вставим в соответствующие ячейки формулы (4.10)—(4.20). В результате получим таблицу, в которой и находятся искомые конечные и разделенные разности (рис. 4.3).

Ml • - U

Рис. 4.3. Вычисление табличных разностей.

Из таблицы получаем:

Задача решена.