Введение. 
Методы численного интегрирования

При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

В данной работе мы познакомимся с приближенными методами вычисления определенных интегралов: методом прямоугольников, методом трапеций и методом парабол.

Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции f (x) функцией более простой природы — многочленом, совпадающим с f (x) в некоторых точках. Для уяснения этой идеи рассмотрим при малых c интеграл? сf (x) dx, представляющий собой площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции y = f (x) на сегменте [-c, c] (рис. 1).

Заменим функцию f (x) многочленом нулевого порядка, а именно константой f (0). При этом интеграл? сf (x) dx, приближенно заменится площадью прямоугольника, заштрихованного на рис. 2.

многочлен интеграл трапеция Заменим, далее, функцию f (x) многочленом нулевого порядка, а именно линейной функцией y=kx+b, совпадающей с f (x) в точках — c и с. При этом интеграл? ссf (x) dx приближенно заменится площадью прямоугольной трапеции, заштрихованной на рис. 3.

Если потребуется вычислить интеграл по любому сегменту [a, b], естественно разбить этот сегмент на достаточно большое число малых сегментов и к каждому из этих сегментов применить изложенные выше рассуждения. При этом мы и придем к методам прямоугольников, трапеций и парабол в их общем виде. В связи с тем, что эти методы — это методы приближенного вычисления, то появляется некая погрешность, и для её оценки мы подойдем к изложению этих методов с другой точки зрения.

Прежде всего нам понадобится понятие усреднения n чисел.

Путь a1,…, an — какие угодно положительные числа. Любое число c вида.

С= - назовем усреднением n чисел f (x1), f (x2),… f (xn).

Очевидно, что если все числа f (x1), f (x2),…, f (xn) заключены между числами m и M (m<=M), то и любое усреднение с этих чисел удовлетворяет неравенствам m<=c<=M.

Предположим далее, что функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b] и все значения x1, x2,…, xn лежат на этом сегменте. Тогда, какое бы усреднение n чисел f (x1), f (x2),…, f (xn) мы ни взяли, на сегменте [a, b] найдется точка? такая, что усреднение равно значению f (?) в точке ?. В самом деле, так как функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b], то все значения этой функции на указанном сегменте заключены между ее наибольшим значением M и наименьшим значением m. Значит, и любое усреднение с чисел f (x1),…, f (xn) заключено между m и M.

Таким образом, для непрерывной на сегменте [a, b] функции формулу С= можно переписать в виде = f (?) (*) или в виде *(b-a) = f (?)*(b-a).