Линейные модели наблюдений

Основные определения

Одной из распространенных задач научно-исследовательского характера является задача исследования вектора выходных параметров Y=(y1,y2,…, yn) некоторого объекта, на вход которого подается вектор входных воздействий Х=(х1,х2,…, хn). Исследование может осуществляться с целью поиска экстремумов функции выходных параметров.

Математической моделью объекта является система уравнений:

.

Входные переменные хj, j= называют факторами, а функции fj (…) — функциями отклика.

Фактором называется измеряемая переменная величина, подаваемая на вход объекта и принимающая в некоторый момент времени определенное значение.

Каждый фактор будет задан, если вместе с его названием указана область определения. Под областью определения понимается множество значений Хj, которые может принимать i-й фактор. Факторы определяют как сам объект, так и его состояние. Поэтому к факторам предъявляют такие требования, как управляемость и однозначность.

Управлять фактором — значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течение опыта или изменять по заданной программе. Планировать эксперимент можно только тогда, когда уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

В планировании эксперимента могут участвовать сложные факторы или совокупность факторов, к которым предъявляются требования совместимости и отсутствия линейной корреляции. При этом выбранное множество факторов должно быть полным, а точность фиксации факторов — высокая.

Экспериментатор ставит опыты с целью идентификации параметров модели. Каждый из факторов хj может принимать в u-м опыте, проводимом экспериментатором, одно из возможных (задаваемых) значений, называемых условиями. Значения факторов задаются в виде дискретных уровней. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний черного ящика zj. Если перебрать все наборы состояний, то получим полное множество Z состояний объекта. Соответствие кортежей (х1,х2,…, хk) и элементов множества Z устанавливается отображением Ф, задаваемым в виде таблицы, причем в таблице указывается число возможных различных опытов, которое определяется сложностью принятой модели.

Оценка числа состояний объекта соответствует числу уровней факторов Р, возведенных в степень числа факторов K. Очевидно, что даже такая простая система с р=4 и k=4 требует 256 опытов для оценки 256 состояний.

Очевидно желание сократить число экспериментов с объектом, т.к. каждый эксперимент стоит денег и времени. Задача определения требуемого числа опытов решается методами планирования экспериментов.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа условий протекания опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом существенным являются:

• — стремление к минимизации общего числа опытов;
• — одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам — алгоритмам;
• — использование математического аппарата, формализующего действия эксперимента;
• — выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента чрезвычайно разнообразны, а там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении — планирование эксперимента.

При планировании экстремального эксперимента определяется параметр, который нужно оптимизировать (например, найти его экстремум). Параметр оптимизации — это реакция (отклик) на воздействия факторов, которые определяют поведение изучаемой системы. Параметры оптимизации бывает экономическими, технико-экономическими, технико-технологическими и т. д. Параметр оптимизации должен быть измеримым, т. е. мы должны уметь его измерить при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов.

При исследованиях должны быть определены существенные факторы, оказывающие влияние на функционирование объекта. Ошибка опыта возрастет, если какой-либо из существенных факторов окажется не учтенным. Обычно на практике, если число опытов больше пятнадцати, следует обратиться к методам отсеивания несущественных факторов.