Проверка адекватности модели

Прежде чем анализировать и интерпретировать полученный результат необходимо убедиться в адекватности модели.

Для построения нашей модели, мы использовали классический МНК, чтобы оценки полученные с использованием данного метода, обладали полезными свойствами с точки зрения статистики, необходимо, чтобы выполнялся ряд предпосылок относительно рассматриваемой модели. Такие условия называются условиями Гаусса-Маркова.

В частности для нашей модели проверка остатков необходима по двум основным свойствам, которые должны выполняться одновременно:

• 1) Остатки имеют нормальное распределение
• 2) Остатки имеют постоянную дисперсию

Нормальность распределения остатков Выполнение условия о нормальности распределения остатков необходимо для того, чтобы мы имели возможность делать выводы на основании оценок модели.

Для проверки нормальности распределения, можно использовать классическую гистограмму, чтобы получить представление о форме распределения. При помощи R был построен график распределения остатков (смотри Рисунок 2.). Распределение на гистограмме визуально приближено к нормальному.

Рисунок 2 Гистограмма распределения остатков.

Существует более точный инструмент для проверки того, насколько форма распределения близка к нормальной — диаграмма квантиль-квантиль (Q-Q plot). Такая диаграмма представляет собой квантили стандартного нормального распределения и соответствующие квантили анализируемых данных. Если анализируемые данные близки по своей природе к стандартному распределению, результат будет лежать приблизительно на прямой линии с положительным наклоном. При помощи R был построен Q-Q plot для наших остатков (смотри Рисунок 3.). В данном случае мы можем сказать, что остатки примерно распределены нормально.

Постоянная дисперсия остатков (гомоскедастичность) Вторым важным критерием для проверки адекватности модели является однородность групповых дисперсий или так называемая гомоскедастичность. Если дисперсия остатков непостоянна, то присутствует гетероскедастичность.

Для тестирования модели на гетероскедастичность был использован тест БройшаПагана. Для теста были выбраны следующие гипотезы:

Тест показал следующие результаты:

Полученные результаты свидетельствуют об отсутствии гетероскедастичности остатков. Существенный по величине p-value позволяет принять нулевую гипотезу о постоянстве дисперсии.

Для большей точности и подтверждения результатов теста, мы использовали график остатков (см. Рисунок 4). Согласно Рисунку 3, остатки находятся в так называемом «конверте», что свидетельствует об отсутствии гетероскедастичности в остатках.

Рисунок 4 Проверка остатков на гетероскедастичность.

Все необходимые условия теоремы ГауссаМаркова выполняются: остатки представляют собой независимые случайные величины (рис. 4), их среднее значение равно 0 (рис 2, average (ei)=0), они имеют одинаковую (постоянную) дисперсию (тест БройшаПагана) и подчиняются нормальному распределению (рис 2).

Построенную модель с точки зрения статистики можем считать адекватной.