Проекции. 
Компьютерная графика

Постановка задачи

Написать программу для изображения многогранника, вращающегося вокруг оси ОУ Ось вращения не должна совпадать с собственной вертикальной осью фигуры.

Описание метода решения

Для начала как можно подробнее опишем задачу. Итак, необходимо написать программу, которая рисует на экране изображение октаэдра. Во время выполнения программы необходимо обеспечить возможность изменять форму рисунка таким образом, чтобы создавалась иллюзия вращения трехмерной фигуры. Способ изменения формы фигуры должен определяться нажатой клавишей: то есть при нажатии определенной клавиши должно выполняться соответствующее действие. Чтобы придать программе некую универсальность, реализуем в ней возможность вращения фигуры не только по оси OY, но и по осям OX и OZ. Отличием поставленной задачи от Задания 2 является требование непрозрачности фигуры, то есть надо будет создать алгоритм удаления невидимых в текущий момент граней. Кроме этого, все грани должны быть закрашены в разные цвета, а сама фигура изображаться в проекции перспектива (2 точки схода).

Для решения поставленной задачи был выбран алгоритмический язык программирования Паскаль. Один из его встроенных модулей, а именно модуль Graph, предоставляет богатые возможности для отображения графики на экране.

Основными действиями программы помимо отображения рисунка на экране, будут математические вычисления координат вершин фигуры в трехмерной системе координат.

Новые координаты должны быть рассчитаны таким образом, что бы изменение изображения фигуры на экране соответствовало необходимому действию, а именно — повороту по осям X, Y, Z.

Теперь разберем математические основы программы. Первое что необходимо вспомнить — это умножение матрицы на вектор. Этот процесс записывается так:

Теперь распишем саму формулу — она показывает принцип умножения матрицы на вектор:

В программе координаты каждой вершины представлены вектором:

Координаты по осям X, Y, Z равны соответствующим символам вектора, а значение W — это коэффициент перспективы. Для вычисления новых координат вершин фигуры нужно умножить вектор вершины на матрицу соответствующего преобразования.

Для вращения фигуры вокруг осей X, Y, Z необходимо векторы вершин умножать на соответствующие матрицы.

Для оси X это матрица.

Для оси Y:

Для оси Z:

Rx, Ry и Rz — соответственно значения углов вращения вокруг осей X, Y и Z. Результат умножения матрицы на вектор для вращения вокруг оси X будет таким:

X' = X, Y' = Y*cos (Rx) + Z*sin (Rx), Z' = -Y*sin (Rx) + Z*cos (Rx), где Rx — значение угла поворота вокруг оси X.

Для вращения относительно других осей значения вычисляются аналогично. Все эти формулы уже приводились в Задании 2. Но в этой программе нам поставлены дополнительные задачи, требующие математических вычислений: непрозрачность и диметрическая проекция. Для реализации непрозрачности был выбран следующий алгоритм: каждая грань фигуры описывается не только 3 вершинами, но и четвертой точкой — центром грани. Примем координаты центра грани, расположенной ближе всего к наблюдателю, как эталон. То есть вектор, проходящий из центра системы координат через это эталон, направлен прямо на наблюдателя. Теперь, при повороте фигуры мы можем вычислить скалярное произведение для каждого из векторов реальных центров граней и эталонного вектора. Если результат вычисления больше нуля, то грань находится на видимой части фигуры. Если результат вычисления равен нулю, то вектора перпендикулярны, а значит грань расположена боком к наблюдателю. Если результат вычисления меньше нуля, то грань находится на невидимой части фигуры. Скалярное произведение — одна из важнейших операций в аналитической геометрии (и в компьютерной графике). Скалярное произведение является числом и вычисляется следующим образом:

Диметрическая проекция относится к числу ортогональных проекций. В ней ось y проецируется на ось OY экранной системы координат, а оси x и z составляют некий заданный угол и с отрицательной полуосью OX и положительной полуосью OX соответственно.

Для отображения фигуры в диметрической проекции необходимо вектор каждой вершины умножить на матрицу преобразования, соответствующую диметрической проекции.

Здесь — угол, вычисляемый по формуле = Sin (ц) / Cos (ц), где угол ц = р * и/180.

Угол и это угол, который составляют оси x и z с положительной и отрицательной полуосями OX экранной системы координат.