Реконструкция методом обратного проецированиямс фильтрацией в Фурье пространстве

После обратного проецирования для корректировки избыточности данных в центре Фурье пространства требуется применение процедуры фильтрации, чтобы создать в этом пространстве равное распределение. Для этого преобразование Фурье обратной проекции изображения подвергается фильтрации с помощью «конусного» фильтра (v = ^v? +v|).

Этот фильтр повышает значения величин на края пространства Фурье и ослабляет в центре пространства. Такая операция записывается в виде.

где Biv^Vy) — 2-М преобразование Фурье обратно проецированного изображения; F (y"v_y) — 2-М преобразование Фурье фильтрованной обратной проекции изображения. Заключительная операция состоит в инверсии Фурье преобразования Fiv^Vy) для получения изображения /(Ху).

Такой способ обработки экспериментальных данных ПЭТ известен как метод реконструкции фильтрованной обратной проекции изображения. Таким образом, в этом методе сначала производится обратное проецирование данных по проекциям, затем они фильтруются в Фурье пространстве конусным фильтром и в заключении выполняется обратное Фурье преобразование.

Реконструкция методом фильтрованного обратного проекцирования

Если изменить порядок шагов фильтрации и обратного проецирования в уравнении (6.16), то получим полезный метод реконструкции фильтрованной обратной проекции изображения:

где фильтрованная проекция определяется из уравнения:

которое можно рассматривать как предварительное корректирование на избыточность Фурье преобразование Дх, у). Одномерный пилообразный (англ, ramp) фильтр |v_s| является сечением через симметричный относительно поворота 2-М конусный фильтр. Преимущество этого метода заключается в том, что пилообразный фильтр применяется к каждой измеренной проекции, которая имеет конечную область определения по 5 и необходимо выполнить обратное проецирование фильтрованных проекций только для | s |, меньших чем радиус поля обзора. Это означает, что изображение в методе фильтрованной обратной проекции можно рассчитать, используя много меньшую по размеру матрицу реконструкции, чем в методе обратного проецирования с фильтрацией обратной проекции в Фурье пространстве.

Регуляризация

Инверсия уравнения (6.15) относится к плохо обусловленным задачам и его решение (6.17) является нестабильным по отношению к небольшим возмущениям данных р (s, ф). Такая ситуация может приводить к непредсказуемым изменениям в оценке Дх, у). Так как детектирование фотонов является стохастическим процессом, то для ограничения области решения до физически приемлемых значений необходимо использовать некоторые формы регуляризации.

Наиболее часто применяемым видом регуляризации реконструкции изображения является простое сглаживание данных. В методе реконструкции фильтрованной обратной проекции уравнения (6.17) эта операция записывается в виде следующего выражения:

где fix, у) — реконструированная оценкаДху); W (v_s) — сглаживающая (аподизационная) функция.

Отметим, что если V7(v_s) Ф 1, то уравнение (6.19) является смещенной оценкой Дху). Общепринятая аподизационная функция представляет косинусоидальное аподизационное окно, называемое также окном Ханнинга. Специфическая форма W (v_s) будет определять компромисс шум/разрешение в реконструированном изображении и также влиять на структуру шума в изображении. На практике затруднительно строго обосновать выбор функции V7(v_s), в принципе ее выбор должен оптимизировать конкретную задачу, например, детектирование болезни.