Путь через реку

ЗАДАЧА Между точками А и В течет река (или канал) с приблизительно параллельными берегами (рис. 55). Нужно построить через реку мост под прямым углом к его берегам. Где следует выбрать место для моста, чтобы путь от А ло В был кратчайшим?

РЕШЕНИЕ Проведя через точку А (рис. 56) прямую, перпендикулярную к направлению реки, и отложив от А отрезок АС, равный ширине реки, соединяем С с В. В точке D к надо построить мост, чтобы путь из, А в В был кратчайшим.

Рис. 55. Где построить мост под Рис. 56. Место для.

прямым углом к берегам реки, постройки моста выбрано чтобы дорога от, А кВ была кратчайшей?

Действительно, построив мост DE (рис. 57) и соединив Е с А, получим путь AEDB, в котором часть АЕ параллельна CD (AEDC— параллелограмм, так как его противоположные стороны АС и ED равны и параллельны). Поэтому путь AEDB по длине равен пути АСВ. Легко показать, что всякий иной путь длиннее этого. Пусть.

Рис. 57. Мост построен Рис. 58. Пугь AEDB — действительно кратчайший мы заподозрили, что некоторый путь AMNB (рис. 58) короче AEDB, т. е. короче АСВ. Соединив С с N, видим, что.

CN равно AM. Значит, путь AMNB = ACNB. Ho CNB, очевидно, больше СВ; значит, ACNB больше АСВ, а следовательно, больше и AEDB. Таким образом, путь AMNB оказывается не короче, а длиннее пути AEDB.

Это рассуждение применимо ко всякому положению моста, не совпадающему с ED; другими словами, путь AEDB действительно кратчайший.

Построить два моста

ЗАДАЧА Может представиться более сложный случай — именно, когда надо найти кратчайший путь от А до В через реку, которую необходимо пересечь дважды под прямым углом к берегам (рис. 59). В каких местах надо тогда построить мосты?

Рис. 59. Построены два моста.

РЕШЕНИЕ Нужно из точки А (рис. 59, справа) провести отрезок АС, равный ширине реки в части I и перпендикулярный к ее берегам. Из точки В провести отрезок ВО, равный ширине реки в части II и также перпендикулярный к берегам. Точки С и D соединить прямой. В точке Е строят мост ЕР, а в точке G — мост GH. Путь AFEGHB есть искомый кратчайший путь от А до В.

Как доказать это, читатель, конечно, сообразит сам, если будет в этом случае рассуждать так же, как рассуждали мы в предыдущей задаче.