Кинематический анализ сооружений

Кинематический анализ сооружений

Для заданного варианта № 10 (Рис. 1) при размерах и нагрузке согласно таблице (Таблица 1) для каждой схемы:

• 1. Произвести кинематический анализ систем и, если необходимо, построить поэтажные схемы.
• 2. Определить опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий.

Таблица 1. Числовые исходные данные.

Рис. 1. Вариант схем № 10.

Решение задач Схема № 1.

Рис. 2. Схема № 1.

Выполним чертеж расчетной схемы рамы в масштабе со всеми нагрузками и опорными реакциями (Рис. 3).

Рис. 3. Расчетная схема рамы № 1.

1. Определим реакции опор:

= -12*1 = -12 кН;

;

= 30+12*6−20*18 = -258 кН*м;

= (258+30+12*6−20*9)/9 = 20 кН.

Контроль:

20−20 = 0 — верно.

2. Построим эпюры, и (Рис. 4).

I участок:

М₁(х) = -Fx = -20x; М₁(0) = 0; М₁(9) = -180 кН*м;

Q₁(х) = -F = -20 кН; N₁(х) = 0.

II участок:

М₂(х) = F*9-qx²/2 = 180−0,5х²; М₂(0) = 180 кН*м; М₂(6) = 162 кН*м;

Q₂(х) = qx = х; Q₂(0) = 0; Q₂(6) = 6 кН; N₂(x) = -F = -20 кН.

III участок:

М₃(х) = -М = -30 кН*м; Q₃ = 0; N₃ = 0.

IV участок:

М₄(х) = -qx²/2-H_Ax-M_A-R_A*9 = -0,5х²+12х+258−20*9 = -0,5х²+12х+78;

М₄(0) = 78 кН*м; М₄(6) = 132 кН*м;

Q₄(х) = -H_A-qx = 12-х; Q₄(0) = 0; Q₄(6) = 6 кН; N₄ = -R_A = -20 кН.

V участок:

М₅(х) = R_Ax+M_A = 20х-258; М₅(0) = -258 кН*м; М₅(9) = -78 кН*м;

Q₅(х) = -R_A = -20 кН; N₅(х) = H_A = -12 кН.

Рис. 4. Эпюры внутренних силовых факторов для схемы № 1.

Схема № 2.

Рис. 5. Схема № 2.

Выполним чертеж расчетной схемы рамы в масштабе со всеми нагрузками и опорными реакциями (Рис. 6).

Рис. 6. Расчетная схема рамы № 2.

1. Определим реакции опор:

= -6 кН;

= (6*3−6*6−20*9)/9 = -22,0 кН;

= (6*3+20*18)/9 = 42 кН.

Контроль:

42−22−20 = 0 — верно.

2. Построим эпюры внутренних силовых факторов (Рис. 7):

I участок:

М₁(х) = -Н_Ах = 6х; М₁(0) = 0; М₁(6) = 36 кН*м;

Q₁(х) = Н_А = -6 кН; N₁(x) = 0.

II участок:

М₂(х) = -Fx+H_A*6 = -20х-36; М₂(0) = -36 кН*м; М₂(9) = -216 кН*м;

Q₂(x) = -F = -20 кН; N₂(x) = -Н_А = 6 кН.

III участок:

М₃(х) = -qx²/2 = -0,5х²; М₃(0) = 0; М₃(6) = -18 кН*м;

Q₃(х) = qx = х; Q₃(0) = 0; Q₃(6) = 6 кН; N₃(х) = 0.

IV участок:

М₄(х) = R_Esin57^oх = -22*0,8387х = -18,5х; М₄(0) = 0; М₄(10,7) = -198,0 кН*м;

Q₄(x) = -R_Esin57^o = 18,5 кН; N₄(x) = R_Ecos57^o = -12,0 кН.

Рис. 7. Эпюры внутренних силовых факторов для схемы № 2.

Схема № 3.

Рис. 8. Схема № 3.

Выполним чертеж расчетной схемы рамы в масштабе со всеми нагрузками и опорными реакциями (Рис. 9).

Рис. 9. Расчетная схема рамы № 3.

1. Определим реакции опор:

= (-30+27*4,5+20*6)/18 = 11,75 кН;

= (30−20*6+27*13,5)/18 = 15,25 кН;

= -20 кН.

Контроль:

11,75+15,25−27 = 0,0 — верно.

Для определения величины распора в стержне-затяжке, разделим раму по шарниру, отбросив затяжку и заменив ее действие неизвестными реакциями, и рассмотрим равновесие левой части (Рис. 9):

= (9*4,5+20*6)/6 = 26,8 кН.

2. Построим эпюры внутренних силовых факторов (Рис. 10).

I участок:

М₁(х) = -qx²/2 = -0,5х²; М₁(0) = 0; М₁(9) = -40,5 кН*м;

Q₁(х) = -qх = -х; Q₁(0) = 0; Q₁(9) = 9 кН; N₁(х) = 0.

II участок:

М₂(х) = 0; Q₂(x) = 0; N₂(x) = -R_A = -15,25 кН.

III участок:

М₃(х) = -Fx+Hx = 6,8х; М₃(0) = 0; М₃(6) = 40,5 кН*м;

Q₃(x) = H-F = 6,8 кН; N₃(x) = -R_A = -15,25 кН.

IV участок:

М₄ = -q*9*(x+4,5)+(H-F)*6+R_Ax-qx²/2 = -9*(х+4,5)+15,25х-0,5х²+40,5;

М₄(0) = 0; М₄(9) = 16,05 кН*м;

Q₄(x) = R_A-q*9-qx = 15,25−9-х = 6,25-х; Q₄(0) = 6,25 кН; Q₄(9) = -2,75 кН;

N₄(x) = H-F = 6,8 кН.

V участок:

М₅(х) = -qx²/2+R_Bx+H*6+H_B*12+M = -0,5х²+11,75х-49,2;

М₅(0) = -49,2 кН*м; М₅(9) = 16,05 кН*м;

Q₅(х) = qx-R_B = х-11,75; Q₅(0) = -11,75 кН; Q₅(9) = -2,75 кН;

N₅(х) = Н_В+Н = -20+26,8 = 6,8 кН.

VI участок: .

М₆(х)=-Н_В(х+6)-М-Нх=20(х+6)-30−26,8х; М₆(0) = 90 кН*м; М₆(6) = 49,2 кН*м;

Q₆(x) = -H_B-H = 20−26,8 = 6,8 кН; N₆(x) = -R_B = -11,75 кН.

VII участок:

М₇(х) = -М-Н_Вх = -30+20х; М₇(0) = -30 кН*м; М₇(6) = 90 кН*м;

Q₇(x) = -H_B = 20 кН; N₇(x) = -R_B = -11,75 кН.

Рис. 10. Эпюры внутренних силовых факторов для схемы № 3.

Схема № 4.

Рис. 11. Схема № 4.

Выполним чертеж расчетной схемы рамы в масштабе со всеми нагрузками и опорными реакциями (Рис. 12).

Рис. 12. Расчетная схема рамы № 4.

1. Определим реакции опор:

Запишем систему уравнений:

Запишем матрицу системы, матрицу свободных членов и матрицу неизвестных:

;; .

Обратная матрица:

Матрица неизвестных:

= ,.

т.е. =8,25 кН; =8,25 кН; =13,5 кН; = -100,5 кН*м; = 24,5 кН.

Контроль:

• 24,5+13,5−20−18 = 0,0 — верно.
• 2. Строим эпюры (Рис. 13).

I участок:

М₁(х) = -Fx = -20х; М₁(0) = 0; М₁(4,5) = -90 кН*м;

Q₁(x) = -F = -20 кН; N₁(х) = 0.

II участок:

М₂(х) = Н_Ах = 8,25х; М₂(0) = 0; М₂(6) = 49,5 кН*м;

Q₂(х) = Н_А = 8,25 кН; N₂(х) = -R_A = -24,5 кН.

III участок:

М₃(х) = R_Ax-F (x+4,5)+H_А*6 = 24,5х-20(х+4,5)+8,25*6 = 24,5х-20(х+4,5)+49,5;

М₃(0) = -40,5 кН*м; М₃(9) = 0,0;

Q₃(x) = R_A-F = 24,5−20 = 4,5 кН; N₃(x) = Н_А = 8,25 кН.

IV участок:

М₄(х) = -0,5qx²+R_A(x+9)-F (x+13,5)+H_A*6 = -0,5х²+24,5(х+9)-20(х+13,5)+49,5;

М₄(0) = 0,0; М₄(9) = -60 кН*м;

Q₄(x)=R_A-F-qx = 24,5−20-х=4,5-х; Q₄(0)=4,5 кН; Q₄(9)=-4,5 кН; N₄(х) = 8,25 кН.

V участок:

М₅(х) = -0,5qx²+R_Bx+M_B-M+H_B*6 = -0,5х²+13,5х-81;

М₅(0) = -81 кН*м; М₅(9) = 0,0;

Q₅(x) = qx-R_B = х-13,5; Q₅(0) = -13,5 кН; Q₅(9) = -4,5 кН; N₅(х) = Н_В = 8,25 кН.

VI участок:

М₆(х) = -М = -30 кН*м; Q₆(х) = 0; N₆(х) = 0.

VII участок:

М₇(х) = -Н_Вх-М_В = -8,25х+100,5; М₇(0) = 100,5 кН*м; М₇(6) = 51 кН*м;

Q₇(x) = -Н_В = -8,25 кН; N₇(x) = -R_B = -13,5 кН.

Рис. 13. Эпюры

Схема № 5.

Рис. 14. Схема № 5.

Выполним чертеж расчетной схемы рамы в масштабе со всеми нагрузками и опорными реакциями (Рис. 15).

Рис. 15. Расчетная схема балки № 5.

1. Определим реакции опор:

чертеж кинематический распор балка.

Запишем систему уравнений:

Запишем матрицу системы, матрицу свободных членов и матрицу неизвестных:

;; .

Обратная матрица:

Матрица неизвестных:

= ,.

т.е. = -115,21 кН; = 245,64 кН; = -97,23 кН; = 905,03 кН*м.

Контроль:

• -115,21+245,64−97,23−20−13,5 = 0 — верно.
• 2. Строим эпюры (Рис. 16).

I участок:

М₁(х) = -Fx = -20х; М₁(0) = 0; М₁(9) = -180 кН*м;

Q₁(x) = -F = -20 кН.

II участок:

М₂(х) = -F (x+9)+R_Ax = -20(х+9)-115,21х;

М₂(0) = -180 кН*м; М₂(9) = -1396,89 кН*м;

Q₂(x) = R_A-F = -115,21−20 = -135,21 кН.

III участок:

М₃(х) = -F (x+18)+R_A(x+9)+R_Bx-0,5qx² = -20(х+18)-115,21(х+9)+245,64х-0,5х²;

М₃(0) = -1396,89 кН*м; М₃(4,5) = -910,08 кН*м;

Q₃(x) = -F+R_A+R_B-qx = -20−115,21+245,64-х = 110,43-х;

Q₃(0) = 110,43 кН; Q₃(4,5) = 105,93 кН.

IV участок:

М₄(х) = -0,5qx²+R_E(x+9)-M+M_E = -0,5х²-97,23(х+9)+875,03;

М₄(0) = 0; М₄(9) = -915,61 кН*м;

Q₄(х) = qx-R_E = х+97,23 кН; Q₄(0) = -97,23 кН; Q₄(9) = 105,93 кН.

V участок:

М₅(х) = R_E(x+4,5)+M_E-M = -97,23(х+4,5)+875,03;

М₅(0) = 437,5 кН*м; М₅(4,5) = 0; Q₅(x) = 97,23 кН.

VI участок:

М₆(х) = М_Е+R_Ex = 905,03−97,23х; М₆(0) = 905,03 кН*м; М₆(4,5) = 467,5 кН*м;

Q₆(х) = -R_E= 97,23 кН.

Рис. 16. Эпюры внутренних силовых факторов для схемы № 5.

Схема № 6.

Рис. 17. Схема № 6.

Составим расчетную схему арки (Рис. 18).

Рис. 18. Расчетная схема арки.

1. Реакции опор:

= (18*9+2*20*18+20*27)/36 = 39,5 кН;

= (20*9+2*20*18+18*27)/36 = 38,5 кН.

Контроль:

39,5+38,5−18−2*20−20 = 0,0 — верно.

Далее систему разделим на составные стержни и рассмотрим равновесие левого стержня (Рис. 19) в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на стержень, относительно точки С:

= (38,5*18−18*9)/8 = 66,4 кН.

Рис. 19. Схема действия сил на левый стержень арки.

Рис. 20. Схема, показывающая положение произвольного поперечного сечения арки

Поперечное сечение в произвольной точке оси арки перпендикулярно касательной в этой точке (Рис. 20) и расположено под углом к вертикальному сечению.

Касательная составляет с осью х угол, равный .

Положение поперечного сечения на оси арки определяется координатами х и y его центра тяжести и углом. Так как угол есть угол наклона касательной в данной точке оси арки, то этот угол можно определить, взяв первую производную функции, описывающей линию оси арки, и, используя известное равенство: .