Определение опорных изгибающих моментов в балках

Балка, с точки зрения строительной механики, это силовой элемент, способный воспринимать поперечную силу и изгибающий момент. Балки, применяемые в конструкции СЛА, должны удовлетворять заданным требованиям прочности и жесткости при наименьшей их массе. Основным силовым фактором, оказывающим наибольшее влияние на массу балки, является изгибающий момент. Он воспринимается в основном верхними и нижними, наиболее удаленными от оси сечениями балки, в то время как сечения, расположенные вблизи оси жесткости, остаются практически незагруженными.

Исходя из этого, целесообразно выбирать для балок такие профили, у которых основная масса материала конструкции расположена вдали от оси сечения. Поперечные сечения балок, наиболее часто используемых на СЛА, показаны на рис. 5. Как видно из рисунка, все балки имеют верхнюю и нижнюю полки, соединенные между собой стенками. Исключение составляет трубчатый профиль (puc.5, е), роль полок которого выполняют верхний и нижний своды. Трубчатые балки имеют большую массу по сравнению с другими типами балок, рассчитанными на одну и ту же нагрузку, и используются в тех случаях, когда кроме поперечной силы и изгибающего момента действует и крутящий момент, Крутящий момент может восприниматься балками сечений, имеющими замкнутые контуры (рис. 5, а, б, в). Эти сечения используются обычно в высоконагруженных балках, например в качестве основного лонжерона крыла. Широкое применение в качестве лонжерона крыла находят и балки с незамкнутым сечением (рис. 5, д, е, ж, з), в этом случае крутящий момент воспринимается контуром, образованным носком крыла и стенкой лонжерона.

Рис. 5 Сечения балок, используемых на СЛА

Все высоконагруженные балки обязательно должны рассчитываться на изгибающий момент и поперечную силу.

Рассчитать балку-это значит:

выявить все действующие на нее силовые факторы выбрать наиболее тяжелый (расчетный) случай нагружения перейти от реальной конструкции к ее расчетной схеме определить реакции опор построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента рассчитать сечения элементов балки Для балок постоянного сечения эпюры нагрузок можно не строить, а лишь определить их максимальные значения, воспользовавшись формулами, приведенными в табл.1.

Таблица 1 Максимальные значения поперечных сил и изгибающих моментов балок при различных видах их нагружения

Для определения опорной реакции балки, свободно лежащей на обеих опорах, берут сумму моментов от всех нагрузок, действующих на данную балку, относительно второй опоры, и делят эту сумму моментов на длину пролета. Реакцию на другой опоре возможно, определить так же, как разность между суммой всей нагрузки в пролете и ранее вычисленной реакцией на первой опоре. Для вычисления моментов от сплошной нагрузки, распределенной равномерно на участке длины пролета или в виде треугольника, трапеции и т. п., последняя заменяется равной по величине сосредоточенной силой, приложенной в центре тяжести заменяемой сплошной нагрузки.

Для определения изгибающего момента в каком-либо сечении балки необходимо вычислить относительно этого сечения сумму моментов всех сил, расположенных на балке справа или слева от рассматриваемого сечения. Для определения перерезывающей силы в каком-либо сечении балки необходимо взять сумму проекций всех сил, расположенных справа или слева от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную балке в данном сечении. Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы. Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 6 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 6, б) и подвижной (рис. 6, в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6, а); в шарнирно-неподвижной опоре — две реактивные силы; в шарнирно-подвижной опоре — одна реакция — сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис. 6,в).

Комбинируя различные типы закреплений, можно получить ряд схем балок:

• 1. Балка шарнирно опертая по концам (рис. 7,а). Одна опора шарнирно подвижная, другая — шарнирно неподвижная. Расстояние между центрами опор на схеме называется пролетом. Число реакций равно трем. Учитывая, что для плоской системы сил можно составить три независимых уравнения равновесия системы в целом, приходим к заключению, что балка статически определимая.
• 2. Балка шарнирно опертая с консолями (С1 и С2) (рис. 7,б). Реакции те же. Балка статически определимая.
• 3. Балка жестко закрепленная одним концом (консольная балка) (рис. 7,в). В заделке три реакции. Балка статически определимая. При действии нагрузки перпендикулярной оси реакция НВ всегда равна 0.

Рис. 7

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

а).

б).

Рис. 8 а) — правило знаков для поперечной силы Q; б) — правило знаков для изгибающего момента M

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.

Достаточно очевидно и подтверждается опытом, что балка при изгибе деформируется таким образом, что волокна, расположенные в выпуклой части, растягиваются, а в вогнутой — сжимаются.

Между ними лежит слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей первоначальной длины (рис.9). Этот слой называется нейтральным или нулевым, а его след на плоскости поперечного сечения — нейтральной (нулевой) линией или осью.

Рис. 9.

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Рассмотрим для простоты балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.10). Следуя методу сечений, мысленно проведем разрез и отбросим какую-либо часть балки, а другую оставим. На оставшейся части покажем действующие на нее силы и в поперечном сечении — внутренние силовые факторы, которые являются результатом приведения к центру сечения сил, действующих на отброшенную часть. Учитывая, что внешние силы и распределенные нагрузки лежат в одной плоскости и действуют перпендикулярно оси балки, в сечении получим поперечную силу и изгибающий момент. Эти внутренние силовые факторы заранее неизвестны, поэтому их показывают в положительном направлении в соответствии с принятыми правилами знаков.

Рис. 10.

На рис. 10 показаны два случая оставшейся части: левая и правая.

Для определения величины и составляются два уравнения равновесия для оставшейся части.

Уравнение момента составляется относительно оси Х, проходящей в поперечном сечении через точку на оси балки — тогда поперечная сила в уравнение не входит и величина определяется независимо от. Можно доказать, что результат вычислений и не зависит от того, равновесие какой оставшейся части рассматривается.

Рассмотрим характерный пример (рис. 11,а) и установим необходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 11,б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Заданная система статически определима, следовательно, из условий равновесия системы, т. е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограничений поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) и, определяем вертикальные реакции в опорах:

.

Для определения имеем: откуда. Для проверки правильности вычислений воспользуемся условием равенства нулю суммы всех вертикальных сил откуда получим.

0 = 0.

Рис. 11.

Для определения внутренних силовых факторов — изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продольной координаты, воспользуемся методом сечений. Для получения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменяется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориентации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Заданная система состоит из двух участков — первого и второго. Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассматривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних усилий, определим выражения для внутренних силовых факторов.

Из условия равновесия; отсеченной части системы, расположенной левее от сечения (первый участок), (см. рис. 11, в), получим:

; .

Для определения и на втором участке рассмотрим равновесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (см. рис. 6.10,б), т. е.; откуда и определим:

; .

Эпюры и изображены на рис. 12. Заметим, что эпюры изгибающих моментов, как и поперечных сил строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откладываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 12.