Составление канонических уравнений метода сил и их решение

Основные положения сопротивления материалов, используемые при расчёте рам и балок

Принцип неизменяемости начальных размеров

Рассматриваемые конструкции рам и балок являются достаточно жёсткими, а материал, из которого они изготовлены, достаточно упругим. Нагрузки, действующие на конструкцию, не вызывают в её элементах пластических деформаций. Все деформации происходят в пределах упругости, перемещения (как линейные, так и угловые) настолько малы, что форма и размеры конструкции практически не изменяются. Это позволяет использовать для расчётов постоянную схему, сохраняющую свою первоначальную форму и размеры. Такой подход открывает широкие возможности для применения принципа независимости действия сил.

Принцип независимости и сложения действия сил

Так как конструкция работает в пределах упругости, то конечный результат силового воздействия не зависит от порядка приложения сил.

Применительно к случаю статически неопределимых рам и балок это означает следующее: если на раму (балка) действует группа внешних сил, то внутренние усилия, в интересующем сечении, или смещения, в интересующем направлении, могут быть вычислены от каждой силы отдельно, а результаты просуммированы.

Так, например, при определении суммарного изгибающего момента в сечении балки можно построить отдельно эпюры от «m» и «P», а результаты сложить. В случае необходимости можно поступить и наоборот: «расслоить» сложную эпюру (на участке ВС) на более простые.

Всякая внешняя нагрузка может быть представлена в виде произведения I*P или I*m, где I имеет точку приложения и направление действия, а сомножитель Р определяет абсолютное значение силы (или момента). Аналогично может быть представлено любое известное или неизвестное усилие Х, т. е. Х=1*Х. Приём расслоения эпюр используется и при определении перемещений, возникающих вследствие действия внешних сил. Перемещения принято обозначать D_{ik и dik, где первый индекс (i) обозначает точку и направление перемещения, а второй (k) указывает на силу, послужившую причиной перемещения. Так для схемы нагружения, представленной на рис. 11, перемещение в точке А по направлению силы «Р» будем считать первым направлением, а саму силу Р — первой силой; момент «m», приложенный в точке В — второй силой.}

Тогда перемещение (прогиб) в точке А будет:

или.

где d_{11 — перемещение по направлению первой силы действия первой силы, равной 1,}

d_{12 — перемещение по направлению первой силы от действия второй силы, равной 1.}

или.

Соответственно, угол поворота сечения в точке В будет равен:

или.

или.

Взаимность перемещений

Перемещение точки приложения первой силы по направлению первой силы, вызванное второй силой, равно перемещению точки приложения второй силой, если силы между собой равны, т. е. d₁₂=d₂₁

Так, в рассмотренном выше примере,.

а.

т. е. d₁₂=d₂₁

Таким образом, если найден коэффициент d_{12, то нет необходимости вычислять коэффициент d21, и при решении задач можно сократить объём вычислений.}