Шумы и автоволновые процессы

В возбудимых средах реализуются автоволновые процессы. Источники волн могут возникать и в таких средах, в которых ни один из элементов не способен возбуждаться самопроизвольно, т. е. не является автоколебательным. Возникновение таких источников связано с особыми свойствами среды и волны возбуждения.

На рисунке 1.4 приведена схема распространения волны электрического возбуждения по правому предсердию. Показаны последовательные положения фронта волны; цифры указывают время в миллисекундах. Волна в норме испускается с частотой сердечного ритма порядка 1 Гц.

В норме автоволны в сердечной мышце синхронизированы. Синхронизация определяется подавлением быстрыми периодическими источниками всех более низкочастотных. При выходе ведущего центра — синусового узла — из строя вследствие инфаркта, работает наиболее быстрый запасный источник. Это один из примеров компенсации, о которой говорилось ранее.

Электрокардиограмма, электроэнцефалограмма дают информацию о распространении автоволн в соответствующих возбудимых средах.

Основные кинетические уравнения (1.1) АВП получаются в результате статистического усреднения. Действительно, «концентрации» или «скорости» изменения кинетических переменных являются некоторыми средними величинами. В принципе любой детерминированной модели соответствует стохастическая модель, в которой кинетические взаимодействия выражаются через вероятности элементарных событий, происходящих за малые интервалы времени и в малых элементарных объемах. При усреднении, когда число реагирующих объектов (молекул, живых организмов) велико, шумы, происходящие за счет дискретности взаимодействий, малы. В дальнейшем мы будем называть их «естественными» шумами. Однако в системах с малым числом взаимодействующих объектов роль шумов может существенно возрасти. Именно к таким системам относятся экологические сообщества, системы с участием генов и органелл внутри отдельной живой клетки. Даже малые шумы могут оказать заметное влияние и в системах с большими концентрациями, но близкими к своим точкам бифуркации. Также существенно влияние естественного шума и на системы, обладающие свойствами мультистационарности. Интересно отметить, что в релаксационных автоколебательных химических реакциях даже при огромном (за период) числе взаимодействующих молекул за отдельные отрезки времени концентрации реагентов могут падать на много порядков. При этом роль естественных шумов резко возрастает.

Помимо естественных шумов, при кинетических взаимодействиях присутствуют внешние шумы, интенсивность которых может быть значительной. Они возникают за счет флуктуации внешних параметров, таких как температура, освещенность и т. п.

Наконец, источниками шумов в активных распределенных системах могут явиться автостохастические процессы разного вида. К ним относится и возникновение режимов странных аттракторов, и появление химической и гидродинамической турбулентности. Последняя может явиться следствием химических превращений или жизнедеятельности микроорганизмов. Автостохастические источники разнообразны по своей природе, но все они могут иметь значительную интенсивность. Кроме того, сложные переходные процессы могут внешне выглядеть как автостохастические. При этом следует помнить, что «время жизни» открытых систем часто соизмеримо с временем переходного процесса. [21, c.81−84].

Строгая теория флуктуации в активных распределенных средах еще далека от завершения. Однако оценку вклада шума в качественное поведение моделей можно сделать.

Представим себе, что мы умеем учитывать естественные и внешние шумы путем введения в основные уравнения дополнительных как аддитивных, так и параметрических или мультипликативных членов. Перечислим, какого рода задачи можно ставить в этих случаях:

Определение статистических характеристик малых случайных отклонений хода АВП во времени и пространстве.

• — Нахождение среднего времени пребывания системы в одном из возможных состояний.
• — Определение характеристик флуктуации кинетических переменных вблизи точек бифуркации системы. В частности, изучение флуктуации при зарождении ДС.
• — Исследование роли шумов в потере устойчивости стационарных состояний или различных АВ — режимов, например синхронного.
• — Определение условия вторичной потери устойчивости в кинетических системах или условия возникновения автостохастических режимов.
• — Изучение параметрических или мультипликативных флуктуации в точечных кинетических системах.

Рассмотрим сначала вопрос об источниках естественных, или внутренних, флуктуации в случае, когда в системе осуществляется полное внутреннее перемешивание и в моделях (1.1) диффузионные члены отсутствуют.

Какую роль играют флуктуации разной природы в процессе самоорганизации структур? В принципе все, что сказано по этому поводу для точечных систем, применимо и для распределенных. Однако пространственные флуктуации вносят свою специфику.

Можно думать, что вблизи порога самоорганизации начинают проявляться когерентные свойства во флуктуациях как во времени, так и в пространстве. Чтобы показать, как это происходит, обратимся к классической системе — брюсселятору.

Будем считать одномерный реактор, в котором осуществляется цепочка кинетических взаимодействий, разделенным на N одинаковых элементарных объемов. Для описания теперь уже дискретной системы перейдем от концентраций к числам в объемах (или «ящиках»). Аналогично тому, как это уже делалось в точечной модели, введем в рассмотрение 2f-мерную функцию распределения:

(1.2).

за счет диффузии вещества х.

(1.3).

вероятность того, что в момент времени t в первом ящике находится Jti молекул вещества х, yi молекул вещества и т. д. Эволюция функции w на малом промежутке времени dt определяется элементарными актами реакций в каждом ящике и диффузионными переходами между соседними ящиками за счет реакций. [11, с. 94 — 97].

Аналогично выписываются вероятности переходов с участием вещества. Здесь d x, y⁼D_xN²/L²; длина реактора в дальнейшем считается равной единице. Производная dw (x, y, t) jdt определяется по таким же правилам, что и в (а именно, слагается из баланса скоростей всех упомянутых, а переходов). В результате получаем управляющее, или фундаментальное, уравнение.

Как аналитическое, так и численное решения фундаментального уравнения весьма затруднительны. В нашем случае приходится обращаться непосредственно к машинному эксперименту, точнее говоря, к осуществлению на ЭВМ моделирования переходов согласно схеме по методу Монте-Карло.

Схему можно модифицировать так, чтобы она могла описывать и детерминистический процесс. Для этого в левых частях равенств вместо изменений вероятностей надо записать сами изменения. Такая схема является просто дискретной формой записи уравнений распределенного брюсселятора. Если параметры в детерминистической и вероятностной схемах одинаковы, то можно сравнивать детерминистический и статистический процессы. Это обстоятельство существенно облегчает проведение численных экспериментов. Ниже приводятся результаты численных экспериментов, проведенных Асташкиной Параметры А, В, d_x, d_v, N выбирались из следующих соображений:

• 1) значения параметров должны соответствовать седловому типу неустойчивости однородного состояния системы, при котором возможно существование ДС, или же вблизи тьюринговых бифуркаций;
• 2) чтобы избежать возможных периодических во времени решений, следует выбрать В< А² +, D_y > D_x
• 3) число ячеек TV должно быть таким, чтобы на половину длины «волны» излучаемой моды ДС приходилось 5 — 10 ячеек;
• 4) число «молекул» в каждой ячейке должно быть порядка 10 — 100.

Опишем результаты некоторых экспериментов:

• а) при моделировании сравнивались скорости двух процессов: детерминированного развития из близкого к однородному начального состояния, согласно уравнениям распределенного брюсселятора, и развития, постоянно сопровождающегося естественными флуктуациями. Оказалось, что если выполняются условия возбуждения ряда мод ДС, то флуктуации значительно ускоряют начальную стадию развития процесса, выбирая наиболее быстро растущие моды. Когда система «выбрала» конфигурацию, относительная важность флуктуации уменьшается;
• б) изучался уровень флуктуации в зависимости от близости к точке тьюринговой бифуркации. При приближении к критической точке (В>В_кр) появляются макроскопические флуктуации и процесс становится непуассоновым.

Рисунок 1.5 — Различные состояния системы

Часть времени проводит в состоянии, близком к однородному, часть — в состоянии, близком к ДС. При этом время пребывания ее в состоянии, близком к ДС, растет с увеличением В (рисунок 1.6). Фактически здесь мы наблюдаем индуцированный собственным шумом фазовый переход, вернее, «попытку» такого перехода. ДС с вероятностью единица устанавливается лишь при достижении равенства В = В_кр.

Рисунок 1.6. Крупномасштабные флуктуации вблизи критической точки.

Видно «сосуществование» первой (а) и третьей (б) мод, между которыми происходят перескоки Следует ожидать, задавая и внешние шумы в дополнение к естественным, что полный фазовый переход произойдет раньше, т. е. при В <�В_кр .

Если выполняются условия возбуждения какой-либо моды ДС и заданы начальные условия, близкие к этой моде, то в вероятностной модели при относительно большом числе молекул в каждом ящике ее можно наблюдать на фоне пуассоновых флуктуации. На рисунке 1.6 приведен пример такой (третьей) моды и соответствующий ей пространственный спектр.

в) изучались «метастабильные» состояния в случае, когда соотношения между параметрами допускают существование нескольких мод ДС (В>В_кр). Как мы знаем, в детерминированном случае между такими модами возможны гистерезисные переходы. В стохастической модели система часть времени может иметь одну конфигурацию, часть времени — другую (рисунок 1.6). На этом рисунке показано сосуществование разрешенных первой и третьей мод. Отметим, что именно между этими модами происходит гистерезисный переход. Если число разрешенных мод увеличивается, то поведение системы все более стохастизируется. [20, c.192−195].

Рассмотрим наиболее простой случай аддитивных коррелированных по пространству и времени флуктуации. Математической моделью для случая брюсселятора служит при этом система, в правые части которой добавлены случайные функции Јi (f, r) и Ј₂(f, r). При этом.

(1.4).

(1. 5).

Конечно, случай аддитивного «белого» шума является крайним, однако его рассмотрение интересно само по себе, и с его помощью можно получить ряд общих закономерностей. Наиболее последовательно подобное рассмотрение проведено в работе которой в дальнейшем изложении мы и будем придерживаться.

Корреляционный анализ кинетических флуктуации, возникающих в системе с аддитивными шумами вблизи однородного стационарного состояния и при переходе к точкам бифуркации, проводится в приближении линеаризации. В самих бифуркационных переходах и очень близко от точек бифуркации линейная теория неприменима. Линеаризованная двухкомпонентная модель вблизи однородных состояний системы (1.5) с аддитивными шумами имеет вид.

(1.6).

здесь x1 =x', х2= у'. Коэффициенты Mtj брюсселятора, в частности, равны.

(1. 7).

Так как система (4.4) линейна, то принципиально возможно вычислить все четыре пространственно-временные корреляционные функции.

(1. 8).

Однако методически проще получить сначала единовременные корреляционные функции.

(1. 9).

Процедура получения уравнений для этих функций на основе (1.8) и (1.9) следующая. Умножим соответственно первое и второе уравнения на х₁ и х₂, взятые в точках r и Аr, и усредним по ансамблю реализаций случайных полей E_t(t, r). Получим следующие уравнения:

(1.10).

Представляют интерес стационарные корреляционные функции, для которых bRjbt= 0 при разных соотношениях параметров. Важнейший случай решений в брюсселяторе, да и любой другой двухкомпонентной системе возникает для малых значений бифуркационного параметра:

(1.11).

характеризующего близость системы к точке тьюринговой неустойчивости: а = 0 при В = В_кр

(1.12).

Здесь U1 — нижнее волновое число, соответствующее первой разрешенной форме или моде ДС (рисунок 1.6). Параметр, а характеризует степень когерентности флуктуации кинетических переменных. Он задает масштаб области, в которой флуктуации переменных пространственно скоррелированы:

(1.13).

Хотя система при а>0 в среднем не упорядочена, в пределах области r_кор r распределение переменных в пространстве близко к периодическому. Величина L растет с приближением к порогу возникновения ДС. Указанный рост L предшествует истинному «дальнему» порядку, устанавливающемуся в запороговой области параметров (а < 0). При, а < 0 макроскопическое состояние системы упорядочено, причем пространственный период ДС при а=0 совпадает с периодом осциллирующего сомножителя в корреляционной функции (1.14). Прямым следствием роста.

(1.14).

Зная пространственную функцию R и (Dr, i), легко получить уравнение для пространственно-временной функции R_ik (Ar, т, t):

(1.15).

Начальные условия выражаются через R:

(1.16).

где, радиус корреляции А_кор ~ является повышение уровня «объемных» флуктуации, так как он определяется интегралом. Точно так же, как и при решении линейных уравнений для возмущений, стационарную корреляционную функцию R_ik ищем в виде.

(1.17).

между собой дисперсионными соотношениями. Величина имеет смысл времени корреляции. При приближении к порогу устойчивости однородного.

(1.18).

состояния время корреляции мода Xi, которая должна возникнуть, растет (k_коо+). [3, c. 202−210].