Практическое применение производственной функции

Фирма «ASUS» определяла перспективные уровни выпуска своей продукции — установок радиолокационного обнаружения — без специальной подготовки. В настоящее время эта компания планирует открыть свой филиал по всей Европе, и поэтому ей необходимо проанализировать взаимосвязь между вводимыми факторами производства и уровнем выпускаемой продукции.

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим следующие исходные данные:

Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:

Данные показатели определяются следующим образом.

R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

_,

где Q_R — сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;

Q — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней.

В нашем случае R-квадрат (0,99 508) близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:

.

где N — число наблюдений (20);

P — число объясняющих переменных (2).

Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:

для регрессии df=M-1=3−1=2,

для остатка df=N-M=20−3=17,

итоговый df=N-M=20−1=19,

где M — число оцениваемых параметров регрессии;

N — число наблюдений.

Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):

.

где — условная (групповая) средняя переменной y.

Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):

.

Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):

.

Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок:

F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:

F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F_0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно, исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln (K) и ln (L).

Стандартная ошибка — это оценка стандартного отклонения распределения коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.

t-статистика — оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.

На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для вышеописанной ситуации:

На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа путем экспонирования:

.

Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы (L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000.

Рисунок 1.

Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и рабочей силы (L).

В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a и b превышает 1 (равна 1,185 729). Это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции.

Для примера определим объем ВВП в среднем при ожидаемом уровне капитала 50.000 млн $ и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.

ВВП прогн. = 47 471.12 млн.