Правило останова по соседним приближениям

Задается уровень останова> 0 и момент останова x итерационнойпроцедуры определяется условием:

Критерий Ньютона локализации корня уравнения по сходимости приближений

Идея метода Ньютона заключается в аппроксимации приращения F (u) ;

F (u0) его главной линейной частью F'(u0)(u — u0). Тогда приближенный корень уравнения F (u) = 0 (*) найдем, решив линейное уравнение

F'(u0)(u — u0) = - F (u0).

Из теории следует, что для достаточно гладкого отображения

||F (u) — F (u0) — F'(u0)(u — u0)||? ||u — u0||2.

То есть норма невязки на искомом приближении u соизмерима с квадратом нормы приращения аргумента, что позволяет организовать вблизи корня уравнения (*) сходящийся итерационный процесс.

Теорема (критерий Ньютона локалицации корня (*) по сходимости приближений [1, c. 141]). Пусть в некотором шаре Q[u0, r] банахово отображение F: U > V дважды непрерывно дифференцируемо и? K, а для нуль-приближения u0 выполнены условия.

• 1. [F'(u0)]-1 существует и F'(u0)-1? C;
• 2. з? ||[F'(u0)]-1 F (u0)||;
• 3. k = CKз? ½;

Тогда последовательность, определяемая рекуррентной формулой.

u_{n+1 = un + Дun, где Дun ? - [F'(un)]-¹ F (un),(1)}

сходится в шаре Q[u_{0, r] к решению u* уравнения (*) со скоростью}

||u_{n — u*||? t* - tn,}

где t_{n последовательность приближений меньшего корня t* уравнения}

P (t)? t² — t + з = 0,

построенная по правилу t_{n+1 = tn - [P'(tn)]-¹ P (tn), t0 = 0.}

Корни уравнения P (t) = 0 равны.

t* _{= з и t** = з.}

В условиях теоремы они оба действительны и положительны. Ньютоновы приближения {t_{n, n = 0, 1, … }, начинающиеся с t0 = 0, образуют монотонно возрастающую последовательность, сходящуюся к t*.}

Последовательность (1) фундаментальная, то есть в шаре Q[u_{0, r] банахова пространства U существует предел u* = .}

Теорема с некоторыми изменениями взята из теории решения алгебраических уравнений [2, с. 244], по которой оценка не улучшаема. Значит, в условиях теоремы получена не улучшаемая оценка приближения корня и на множестве операторных уравнений.

Теорема. Если для отображения F и нуль-приближения u_{0 корня уравнения выполнены все условия критерия, то для погрешности n-приближения верна оценка точности ||un — u*|| ? .}