Метод покоординатного спуска

Изложение метода представим на примере функции трех переменных Ф (х, у, z). Выберем нулевое приближение х_0, у₀, z₀. Фиксируем значения двух координат у=у₀, z=z₀. Тогда функция будет зависеть только от одной переменной х; обозначим ее через f₁(x)=Ф (х, у₀, z₀). Найдем минимум функции одной переменной f₁(x) и обозначим его через х₁. Сделаем шаг из точки (х_0, у₀, z₀) в точку (х_1, у₀, z₀) по направлению, параллельному оси х; на этом шаге значение функции уменьшилось.

Затем из новой точки сделаем спуск по направлению, параллельному оси у, то есть рассмотрим f₂(у)=Ф (х₁, у, z₀), найдем ее минимум и обозначим его через у₁. Второй шаг приводит нас в точку (х₁, у₁, z₁)завершает цикл спусков.

Будем повторять циклы. На каждом спуске функция не возрастает, и при этом значения функции ограничены снизу ее значением в минимуме =Ф (, ,). Следовательно, итерации сходятся к некоторому пределу ?.

От функции и выбора нулевого приближения зависит, будет ли здесь иметь место равенство, то есть сойдутся ли спуски к минимуму и как быстро. На примере функции двух переменных легко убедиться, что существуют случаи сходимости спуска по координатам к искомому минимуму и случаи, когда этот спуск к минимуму не сходится.

В самом деле, рассмотрим геометрическую трактовку спуска по координатам (рис. 3.3). Будем двигаться по выбранному направлению, то есть по некоторой прямой в плоскости х, у. В тех участках, где прямая пересекает линии уровня, при движении переходим от одной линии уровня к другой, так что при этом движении функция меняется (возрастает или убывает, в зависимости от направления движения). Только в той точке, где данная прямая касается линии уровня (рис. 3.3, а), функция имеет экстремум вдоль этого направления. Найдя такую точку, завершаем в ней спуск по первому направлению, и должны начать спуск по второму направлению (поскольку направления выбираем параллельно координатным осям, то второе направление перпендикулярно первому).

Пусть линии уровня образуют истинный овраг. Тогда возможен случай (рис. 3.3, б), когда спуск по одной координате приводит на «дно» оврага, а любое движение по следующей координате (пунктирная линия) ведет на подъем. Никакой дальнейший спуск по координатам невозможен, хотя минимум еще не достигнут; процесс спуска по координатам в данном случае не сходится к минимуму.

Рис. 3.3.

Наоборот, если функция достаточно гладкая, то в некоторой окрестности минимума процесс спуска по координатам сходится к этому минимуму. Пусть функция имеет непрерывные вторые производные, а ее минимум не вырожден. Для простоты опять рассмотрим функцию двух переменных Ф (х, у). Выберем некоторое нулевое приближение х₀, у₀ и проведем линию уровня через эту точку. Пусть в области G, ограниченной этой линией уровня, выполняются неравенства, означающие положительную определенность квадратичной формы:

(3.2).

Ф_хха 0, Ф_ууb 0, ¦Ф_ху¦ с, ab (3.3).

Докажем, что тогда спуск по координатам из данного нулевого приближения сходится к минимуму, причем линейно.

Значения функции вдоль траектории спуска не возрастают; поэтому траектория не может выйти из области G, и неравенства (3.3) будут выполняться на всех шагах. Рассмотрим один из циклов, начинающихся в точке, А (рис. 3.3, а). Предыдущий из циклов окончился поиском минимума по направлению к у, следовательно, (Ф_у)_А=0 и ¦Ф_х¦_А= о₁ 0. Первый шаг нового цикла спускает нас по направлению х в точку В, в которой Ф_х = 0 и ¦Ф_у¦=з 0. Поскольку вторые производные непрерывны, можно применить теорему о среднем; получим:

где через с обозначены расстояния между точками. Отсюда получаем со₁ аз. Выполним второй шаг цикла — спуск по направлению у в точку С, после которого (Ф_у)_С = 0 и ¦Ф_х¦_С = о₂. Объединяя эти неравенства, найдем.

Следовательно, за один цикл Ф_х уменьшается в q раз: то же справедливо для Ф_у, если рассмотреть цикл, сдвинутый на один шаг, то есть начинающийся в точке В и кончающийся в точке D.

Значит, когда число циклов n >, то все первые производные линейно стремятся к нулю:

Первые производные одновременно обращались в нуль в точке минимума и вблизи него являются линейными однородными функциями приращений координат. Поэтому координаты точек спуска линейно стремятся к координатам точки минимума, то есть в данном случае спуск по координатам сходится, причем линейно.

Случай (3.3) заведомо реализуется в достаточно малой окрестности невырожденного минимума, ибо эти условия эквивалентны требованию положительной определенности квадратичной формы (3.2). Таким образом, вблизи невырожденного минимума достаточно гладкой функции спуск по координатам линейно сходится к минимуму. В частности, для квадратичной функции этот метод сходится при любом нулевом приближении.

Фактическая скорость сходимости будет неплохой при малых q, когда линии уровня близки к эллипсам, оси которых параллельны осям координат. Для эллипсов, сильно вытянутых под значительным углом к осям координат, величина q 1 и сходимость очень медленная.

Разрешимый овраг напоминает сильно вытянутую котловину (см. рис. 3.3, б). При попадании траектории спуска в такой овраг сходимость становится настолько медленной, что расчет практически невозможно вести. В стохастических задачах наличие ошибок эквивалентно превращению истинных оврагов и гребней в разрешимые; расчет при этом можно продолжать, хотя практическая ценность такого расчета невелика: сходимость очень медленная.

Метод спуска по координатам несложен и легко программируется на ЭВМ. Но сходится он медленно, а при наличии оврагов — очень плохо. Поэтому его используют в качестве первой попытки при нахождении минимума[2].