Арифметические основы ЭВМ

Системы счисления.

Для того чтобы записывать числа нужно использовать какую — либо систему счисления. Система счисления показывает, по каким правилам мы записываем числа и выполняем над ними действия.

Система счисления — совокупность приемов и правил изображения чисел цифровыми знаками.

Исторически сложились два типа систем счисления — позиционная и непозиционная.

Непозиционная система счисления — система, в которой значение символа не зависит от его местоположения в числе. Количественное содержание цифры определяется только его графическим обозначением.

Примером непозиционной системы счисления служит римская система счисления.

Цифры обозначаются различными знаками:

I 3- III 5 — V 10- X 50 — L 100 — C 500 — D 1000 — M.

Для записи промежуточных чисел существует правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большого прибавляется к его значению, а слева вычитается из него.

Например: 4 — IV, 6 — VI, 267 — ССLXVII.

Основной недостаток непозиционной системы счисления — большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических действий.

Применение этой системы счисления в настоящее время ограничивается только обозначением глав книг и юбилейных дат.

В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.

Позиционная система счисления — такая система счисления, в которой один и тот же цифровой знак имеет различное количественное содержание, в зависимости от его позиции в последовательности цифр.

Значение символа зависит от его места в ряду цифр, изображающих число. Например: 5055,15.

• 5 — тысячи.
• 5 — десятки.
• 5 — единицы.
• 5 — сотые доли единиц.

Позиционные системы наиболее удобны, совершенны, т.к. с помощью небольшого набора цифр можно изобразить любое число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Основание показывает:

• 1. во сколько раз количественное значение символа изменяется при переходе с одной позиции на другую;
• 2. показывает количество знаков или символов применяемых для записи чисел.

Позиция символа в изображении числа называется разрядом. Разряду с номером 0 соответствует младший разряд целой части числа. Каждому символу соответствует определенное число, которое меньше основания системы счисления. В зависимости от позиции (разряда) числа значение символа умножается на степень основания, показатель которого равен номеру разряда.

Числа в позиционной системе счисления могут быть представлены в натуральном (естественном) виде или в виде степенного ряда.

Например: 1995,84 = 1ґ 103 + 9ґ 102 + 9ґ 101+ 5ґ 100+ 8ґ 10 -1 + 4ґ 10−2.

В единой системе (ЕС) ЭВМ для представления числовой информации используются следующие системы счисления: двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Количество цифр, которое требуется для изображения числа в позиционной системе счисления, равно основанию системы. Например, для изображения чисел в двоичной системе счисления требуется две цифры, в десятичной — десять, в шестнадцатеричной — 16 цифр.

Простейшей из всех числовых позиционных систем счисления следует считать двоичную систему счисления с основанием 2. Она основана на использование двух значащих цифр 0 и 1.

Двоичная система счисления.

Она была известна давно (древнекитайским математикам), а по настоящему ее развил немецкий математик Лейбниц. Раньше ее считали не больше чем курьезом, лишенным какой-либо практической ценности. С развитием ЭВМ она нашла практическое применение.

Для образования двоичных чисел используется точно такое же правило, как и в десятичной системе счисления.

101 011 = 1ґ25+0ґ24+1ґ23+0ґ22+1ґ21+1ґ20=25+23+21+20=32+8+2+1= 43.

Записывается так 4310 = 1 010 112.

Смешанное число 10 111,011 имеет вид:

10 111,011 = 1ґ24+0ґ23+1ґ22+1ґ21+1ґ20+0ґ0−1+1ґ2−2+1ґ2−3.

В таблице приведены целые двоичные числа и их десятичные эквиваленты в диапазоне от 0 до 15.

Табл. 1.

Кроме того, полезно помнить степени двойки.

Табл. 2.

Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

В настоящее время во всем мире принята десятичная система счисления.

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т. д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т. д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0−9), взятыми из алфавита данной системы счисления.

Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10−1 + 3 * 10−2.

Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т. е.

N10 = am*10m + am-1*10m-1 + …+ a1*101 + a0*100 + a-1*10−1 +…+ a-n*10-n.

Кроме двоичной системы счисления, в компьютерной практике так же используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Они применяются очень редко, в основном при программировании в языках высокого уровня.

Восьмеричная система счисления.

Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада).

В шестнадцатеричной системе счисления для изображения чисел требуется 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной системы счисления, а для изображения шести остальных — шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Для представления одной цифры шестнадцатиричной системы используется четыре двоичных разряда (тетрады).

10(16) = 1ґ161 + 0ґ160.

Е7F8140 = Еґ166 + 7ґ165 + Fґ164 + 8ґ163 + 1ґ162 + 4ґ161 + 0ґ160.

Табл. 3.

Представление чисел в ЭВМ.

Для представления чисел в ЭВМ обычно используют битовые наборы — последовательности нулей и единиц фиксированной длины. Организовать обработку наборов фиксированной длины технически легче, чем наборов переменной длины. Позиция в битовом наборе называется разрядом. В ЭВМ разрядом называют также часть регистра (или ячейки памяти), хранящую один бит.

Целые числа без знака.

Как определить, какое целое число представляет тот или иной битовый набор? Возможны разные способы. Например, можно считать, что представляемое число равно количеству единиц в битовым наборе («единичная» система счисления). Такой способ позволяет представить всего k различных целых чисел от 0 до k-1, где k — длина набора. Очевидно, что этот способ неэкономный — одному и тому же числу могут соответствовать несколько различных наборов. Количество всевозможных битовых наборов длины k равно 2k, поэтому выгоднее различным наборам поставить в соответствие различные числа. Это позволит представить 2k различных чисел. Обычно рассматривают диапазон целых чисел [N, N+2k). При N=0 имеем представление беззнаковых (неотрицательных) чисел от 0 до 2k-1.

Существует всего (2k)! (количество перестановок из 2k элементов) способов закодировать беззнаковые числа битовыми наборами. Среди всех этих теоретически возможных способов представления чисел наиболее удобен такой: битовый набор, соответствующий числу, является k-разрядной записью этого числа в двоичной системе счисления. Таким образом, можно реализовать арифметические операции над числами, используя известные школьные алгоритмы поразрядной обработки для битовых наборов.

Целые числа со знаком.

Для представления знаковых целых чисел используются три способа:

• 1) прямой код;
• 2) обратный код;
• 3) дополнительный код.

Все три способа используют самый левый (старший) разряд битового набора длины k для кодирования знака числа: знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» — единицей. Остальные k-1 разрядов (называемые мантиссой или цифровой частью) используются для представления абсолютной величины числа.

Положительные целые числа (и число 0).

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — цифровая часть содержит двоичную запись числа, в знаковом разряде содержится 0.

Например, для k = 8:

Диапазон представимых чисел: 0… 2 k -1- 1.

Отрицательные целые числа.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

Прямой код отрицательных чисел.

В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины.

Пример (при k = 8):

Диапазон представимых чисел: — (2 k -1−1)…0.

Обратный код отрицательных чисел.

Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями.

Пример (k = 8):

Диапазон представимых чисел: — (2 k -1−1)…0.

Дополнительный код отрицательных чисел Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Диапазон представимых чисел: — 2 k −1… −1.

Заметим, что ноль имеет два представления в прямом и обратном коде, а в дополнительном коде представление нуля единственно.