Анализ с переменой разрешающей способностью

Вейвлет-функции (ВФ) определены на конечном интервале.

Среднее значение ВФ равно нулю

Основная идея ВП — представить произвольную функцию f(t) через суперпозицию множества, так называемых, вейвлетов или базисных функций.

Базисные функции или дочерние вейвлеты получаются из одного прототипа, который носит название материнский вейвлет, путем его расширения или масштабирования, а также сдвига.

Основная идея анализа с переменной разрешающей способностью с помощью дискретного ВП состоит в декомпозиции основного сигнального пространства V₀ в ортогональные подпространства.

.

гдепрямая сумма однотипных алгебраических систем и.

;

V_J — масштабирующее пространство.

Ортогональные вейвлет функции

Функция является ортогональным вейвлетом, если функции.

для j, k Z,.

образуют ортонормальный базис в пространстве Гильберта .

Пример ортогональных функций приведен на рис. 2.

Формирование вейвлетных функций (ВФ) через масштабирующие функции (МФ)

Определим уравнения масштабных преобразований.

.

где h_k — вещественные коэффициенты фильтра, коэффициенты в выражении (2x — k) определяют масштаб и сдвиг функции.

Проведем следующую нормировку. Определим ненулевой интеграл.

.

при этом.

.

Тогда из условия.

следует, что условия, распространяющиеся на функцию (x) соответствуют условиям, распространяющиеся на коэффициенты h_k.

Например, соотношений условий для функций Хаара и весовых коэффициентов имеют следующий вид (рис.3).

Для hat — функций (функций типа «шляпа») имеем (рис.4).