Статистическая динамика систем синхронизации

Актуальность работы. Настоящая работа посвящена вопросам анализа статистической динамики систем синхронизации. Системы синхронизации являются неотъемлемой частью практически любого радиотехнического устройства. Круг задач, решаемых системами синхронизации, весьма обширен: слежение за несущей частотой принимаемого сигнала, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов, посимвольная (тактовая) синхронизация и ряд других задач. Охватить все эти вопросы в одной работе невозможно. Поэтому основное внимание было уделено классической задаче — анализу процессов в системе фазовой автоподстройки частоты (ФАП) при воздействии на ее вход широкополосных помех. Это позволило разработать методы анализа стохастических ФАП, которые, как показано, могут успешно применяться для решения ряда практических задач анализа помехоустойчивости систем. Представляется, что полученные результаты могут быть обобщены и на более широкий круг задач исследования нелинейных систем радиоавтоматики при воздействии шумов.

В качестве объекта анализа в работе была использована математическая модель ФАП в форме стохастических дифференциальных (для непрерывных систем) и разностных (для дискретных систем) уравнений. Основной упор сделан на исследование непрерывных систем. Это обусловлено следующим. Дискретные (цифровые, дискретные и импульсные) ФАП находят все более широкое применение в радиотехнике благодаря совершенствованию элементной базы микроэлектроники и росту рабочих частот. Однако строгий анализ таких систем является достаточно сложной задачей, требующей значительных затрат времени при современном уровне развития общеупотребительной вычислительной техники. Поэтому во многих работах анализ такого рода систем сводится к исследованию аналоговых систем-прототипов, которые проще для изучения. Помимо этого, аналоговые системы можно рассматривать как системы потенциальной достижимости для дискретных ФАП. С другой стороны, использование аналоговых устройств в высокочастотных блоках радиотехнических систем не имеет альтернативы.

Для исследования марковских моделей ФАП использовались методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и методы теории вероятностей. В работе использован комплексный подход к решению параболических дифференциальных уравнений с частными производными, когда при конструировании решения широко используется вероятностная структура этих уравнений. Это позволило разработать достаточно эффективные алгоритмы численного решения таких уравнений применительно к ФАП и близким к ней системам,.

Анализ последствий действия помех (шумов) на системы синхронизации достаточно важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точностные характеристики системы. При этом вычисленные статистические моменты фазовой и частотной ошибок не дают полной информации о поведении ФАП. Поскольку ФАП — существенно нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния. Особенностью ФАП по сравнения с рядом других (не фазовых) систем радиоавтоматики является существование множества устойчивых состояний равновесия, что еще более усложняет картину при действии шумов.

Как и для любой следящей системы, для ФАП важным вопросом является анализ срыва слежения. Под срывом слежения в ФАП следовало бы понимать переход траектории движения из области притяжения одного устойчивого состояния равновесия в область притяжения другого состояния равновесия. Однако решение задачи в такой постановке с использованием теории марковских процессов наталкивается на трудности, связанные с тем, что в этом случае необходимо рассматривать решение соответствующих уравнений на всей плоскости изменения переменных состояния, что с использованием численных методов возможно лишь для системы первого порядка. Поэтому под задачей анализа срыва слежения в ФАП обычно понимают задачу о достижении марковским случайным процессом, описывающим траекторию движения системы, заданной границы. Такой подход используется и в настоящей работе.

Следует отметить, что явление срыва слежения может оказать существенное влияние на работоспособность ФАП, приводит к резкому увеличению ошибок по частоте. Это особенно важно в доплеровских и фазовых системах. Важны на практике и знания о помехоустойчивости системы, когда на ее вход на фоне шумоподобной помехи воздействуют и узкополосные помехи, типа гармонической.

Основы теории исследования статистических характеристик ФАП с использованием их марковских моделей заложили Р. Л. Стратонович [1,2] и В. И. Тихонов [3,4]. Значимый вклад в теорию синхронизации при наличии шумов внесли Б. И. Шахтарин, В. А. Ходаковский, В. Линдсей, А. Витерби, Дж. Холмс, Р. Таусворт, В. Н. Белых, М. И. Жодзижский, В. Н. Кулешов, В. Д. Разевиг, Н. Н. Удалов, В. Д. Шалфеев, В. В. Шахгильдян и другие.

Достаточно быстро были получены основные аналитические и численные результаты по исследованию влияния шумов на ФАП первого порядка. Это обусловлено тем, что прямое уравнение Колмогорова для ПРВ фазовой ошибки в стационарном режиме интегрируется аналитически (при синусоидальной нелинейности его решение — распределение Тихонова). При анализе срыва слежения в ФАП первого порядка широко используется уравнение Понтрягина для моментов времени до срыва слежения, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. С точки зрения численных процедур уравнение Стратоновича-Тихонова (прямое уравнение Колмогорова для ФАП первого порядка) также является «хорошим» объектом.

К настоящему времени поведение ФАП первого порядка исследовано, по-видимому, в достаточном для практики объеме. Хотя даже для такой простой системы до сих пор не решен ряд задач. Например, практически отсутствуют аналитические результаты по переходному режиму, анализ которого сводится к исследованию собственных функций и собственных значений производящего оператора уравнения Старатоновича-Тихонова, как это сделано, для уравнения Матье.

С анализом стохастической ФАП второго порядка, методам исследования которой, в основном, посвящена данная работа, дело обстоит гораздо сложнее. Наверное, единственный точный аналитический результат был получен для ФАП с интегрирующим фильтром (ИФ) в [4]. Это — решение уравнения Крамерса-Тихонова (прямого уравнения Колмогорова для ФАП с ИФ) в стационарном режиме при нулевой начальной расстройке. Впервые это уравнение получил X.А.Крамере [5] для описания химических реакций и В. И. Тихонов [4] для ПРВ распределения фазовой ошибки и ее производной для ФАП с ИФ. Помимо этого, в [4] было получено приближенное решение уравнения Крамерса-Тихонова для большой постоянной времени интегрирующего фильтра в виде отрезка ряда Эджворта. Этот прием использовался в дальнейшем в ряде работ.

Можно выделить два направления в исследовании статистических характеристик ФАП как нелинейной системы. К первому направлению, в котором сосредоточено наибольшее число работ, следует отнести процедуры исследования ФАП на основе приближенных аналитических методов. В основе этих методов лежит, обычно, выделение малого или большого параметра в уравнениях ФАП. Сюда следует отнести работы, посвященные методу усреднения: [2, 6- 17]- работы, посвященные анализу ФАП методами кумулянтов и статистической линеаризации [1824]- работы, использующие приближенное вычисление условных математических ожиданий [25−26].

Ко второму направлению можно отнести работы, посвященные анализу статистических характеристик ФАП с использованием численных методов решения уравнений Колмогорова и Пон-трягина [ 7,15,25, 27−35,37−40].

Среди работ, посвященных анализу статистической динамики ФАП следует выделить [14,30,35].

Необходимо отметить, что задача численного решения либо прямого уравнения Колмогорова, либо уравнения Понтрягина для ФАП второго порядка, не говоря уже о системах более высокого порядка, чрезвычайно сложна. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, традиционно основное внимание ученых, занимающихся задачами численного решения уравнений математической физики уделяется приложениям уравнений в гидро-, газодинамике, атомной физике. Соответствующие уравнения имеют достаточно. существенные отличия от уравнений, рассматривав-, мых в теории статистического анализа ФАП. Самым близким к уравнению ФАП является уравнение многомерной диффузии, теория численного решения которого разработана достаточно детально [41−43]. Различие между этими уравнениями заключается в том, что основную роль в уравнениях для ФАП играют члечто ны, отвечающие за процесс переноса, придает качественное своеI образие этим уравнениям. При этом производящие операторы соответствующих уравнений Колмогорова становятся несамосопряженными. Экономичные методы решения многомерных уравнений диффузии основаны, в большинстве случаев, на факторизации разностных операторов. Для корректной факторизации соответствующие элементарные операторы должны коммутировать. В случае ФАП такую факторизацию выполнить сложно. Далее, при анализе срыва слежения некоторые части границы области, в которой ищется решение, становятся нерегулярными. Это еще более затрудняет решение.

К настоящему времени предложено несколько способов борьбы с этими трудностями. В работе [30] предлагается использовать явные абсолютно устойчивые методы решения соответствующих уравнений, которые получены на основе аппроксимации марковского процесса цепью. Такой подход имеет тот недостаток, что шаги сетки по временной и пространственным переменным достаточно жестко связаны между собой. При этом для получения решения с гарантированной погрешностью необходимо очень тщательно выбирать параметры сетки. Достоинство метода заключается в его простом обобщении на системы более высокого порядка.

В работе [33] предлагается использовать экстраполяции решения уравнения Понтрягина для среднего времени до срыва слежения в ФАП с ИФ на нерегулярных частях границы. При этом остается открытым вопрос о приемлемости и точности такой аппроксимации. Данный метод не допускает обобщения на системы выше второго порядка. В [34] для решения уравнения Понтрягина для вероятности срыва слежения в ФАП с ИФ был использован явный разностный метод. При этом для повышения устойчивости метода, в полуплоскостях положительных и отрицательных частот использовались несимметричные разностные отношения, что, как показывает практика, действительно увеличивает устойчивость, но часто приводит к существенной потере точности решения. К недостаткам метода можно отнести и то, что время счета по приведенному алгоритму прямо пропорционально среднему времени до срыва слежения, которое может быть достаточно велико. Вместе с тем, авторы получили, но не использовали результат, который мог бы существенно сократить время вычислений. Это касается отмеченной особенности в поведении вероятности нахождения траектории марковского процесса в рассматриваемой области в течение заданного времени, которая при относительно больших временах убывает экспоненциально.

В работах [7,15,35,38,39] для анализа ФАП использовался метод Галеркина на базе разложения, предложенного в [4]. Особенности применения этого метода подробно будут обсуждены ниже, отметим только, что метод обладает не очень высокой устойчивостью и его затруднительно применять при наличии нерегулярных частей границ.

В работах [44−49] рассмотрено влияние узкополосных и гармонических помех на ФАП. В них изучается воздействия гармонических помех на фоне широкополосного шума на систему первого порядка и воздействие детерминированных помех на ФАП второго порядка.

Работы [40,50−58] посвящены вопросам захвата сигнала с линейно меняющейся частотой, что достаточно важно для практики использования систем ФАП, напрмер, в спутниковой связи и радиолокации.

Из вышесказанного вытекает, что проблема построения эффективных численных процедур анализа статистической динамики ФАП, позволяющих исследовать различные режимы работы, является достаточно актуальной.

Основная проблема, рассматриваемая в диссертационной работе, заключается в совершенствовании имеющихся и разработке новых эффективных методов аналитического описания и численного моделирования процессов в системах синхронизации при действии помех.

Основная цель работы — разработка эффективных численных алгоритмов расчетов статистических характеристик системы ФАП в переходном режиме, позволяющих проводить анализ влияния помех на ее функционирование и допускающих обобщение на системы более высокого порядка, чем второй.

Основные задачи работы:

— построение корректных математических моделей систем синхронизации;

— создание эффективных алгоритмов вычисления плотностей распределения вероятностей для ФАП с интегрирующим и пропорционально интегрирующим фильтрами в переходном режиме и вычисление основных вероятностных характеристик системы;

— построение эффективных численных алгоритмов анализа срыва слежения для ФАП с интегрирующим и пропорционально интегрирующим фильтрами (среднее время до срыва слежения, вероятность срыва слежения);

— анализ действия широкополосных и узкополосных помех на ФАП;

— проверка погрешностей и областей применимости имеющихся и полученных приближенных выражений для основных вероятностных характеристик ФАП;

— обобщение полученных результатов на системы, с математическими моделями, аналогичными моделям ФАП, например, систему слежения за задержкой;

— разработка методов анализа «тонкой» структуры сигнала ошибки в цифровых стохастических системах с конечным числом состояний (исследование спектра сигнала ошибки).

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей, в частности, теории марковских процессов и стохастических дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики, в частности, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, стохастических дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, матричный анализ.

Разработанные численные методы ориентированы на применение вычислительной техники, не превышающей по вычислительным возможностям персональных ЭВМ.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

— получены строгие математические процедуры перехода от уравнений ФАП в форме Ланжевена к уравнениям ФАП в форме стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито;

— разработаны эффективные численные алгоритмы анализа переходного режима и срыва слежения в ФАП с пропорционально интегрирующим, вырожденным пропорционально интегрирующим и интегрирующим фильтрами и в системе слежения за задержкой псевдошумового сигнала при наличии помех с использованием проекционных методов;

— развит метод суммарной аппроксимации применительно к решению прямого уравнения Колмогорова для одного класса марковских случайных процессов, на основе которого проанализированы вероятностные характеристики сигнала рассогласования в переходном режиме и срыв слежения в ФАП с интегрирующим фильтром и статистические характеристики сигнала рассогласования для нескольких систем с моделями третьего порядка;

— на основе разработанных численных методов создано программное обеспечение для анализа помехоустойчивости ФАП при действии широкополосных и узкополосных помех;

— предложен метод анализа тонкой структуры цифровых систем, описываемых полумарковскими моделями с конечным числом состояний;

— получен ряд новых результатов по статистическим характеристикам систем синхронизации в переходном режиме, характеристикам срыва слежения под действием помех.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации численные методы исследования вероятностных характеристик систем синхронизации позволяют изучать характеристики непрерывных, цифровых и дискретных систем в широком диапазоне их параметров и входных сигналов, оптимизировать и проводить оценку их помехозащищенности. Полученные результаты можно использовать для исследования статистической динамики не только систем фазовой автоподстройки частоты, но и других систем радиоавтоматики, например, системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала. С помощью разработанных алгоритмов и программ :. можно исследовать процессы захвата сигналов ФАП с поиском по частоте, анализировать динамику систем при совместном воздействия на них широкополосных и узкополосных помех, например, скользящих. Предложенные в диссертации методы, алгоритмы и программы можно использовать в НИОКР для исследования помехозащищенности систем синхронизации.

Реализация и внедрение результатов. Результаты диссертации использованы в 5 научно-исследовательских работах: НИР «Тор», «Нижегородец», проводимых в научно-исследовательском электромеханическом институтеНИР «Исследование фазовых автоматических систем при наличии помех», проводимой в МГТУ им. Н.Э.Баумана-, НИР «Актуальные проблемы создания специальных устройств», проводимой в МГТУ им. Н. Э. Баумана в рамках направления «Технические университеты» Программы «Университеты России», раздел 2.6." Фундаментальные проблемы создания спецтехники «- НИР «Открытие», проводимой в Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, по которым опубликовано 6 отчетов, основные из которых [67−70].

Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Минского радиотехнического института и Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Часть материалов диссертации используется в учебном процессе Пензенского государственного технического университета и Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России. Внедрение результатов подтверждено актами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной школе-семинаре «Автоколебательные системы и усилители в радиопередающих устройствах» (Симферополь, 1988; Пенза, 1990), Всесоюзно-координационном совещании «Низкочастотные шумы в полупроводниковых приборах и устройствах» (Черноголовка, 1991), научных сессиях РНТОЭРиС (Москва, 1991, 1993, 1998), Российской научно-технической конференции «Автоматизация исследования, проектирования и испытания сложных технических систем» (Калуга, 1993), Российской научно-технической конференции «Проблемы управления производством, создание прогрессивных технологий, конструкций и систем в условиях рынка» (Калуга, 1995), Межведомственной конференции «Научно-техническое и информационное обеспечение деятельности спецслужб» (Москва, 1996), научных семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете, Московском государственном техническом университете им Н. Э. Баумана, Московском энергетическом институте, в ИКСИ Академии ФСБ России. Тезисы ряда докладов опубликованы в [71−77].

Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы, в том числе тезисов докладов — 6, отчетов по НИР — 6, 20 статей [16, 36,38,39,59−66,78−82, 84−85] и 3 учебных пособия [24,37,59].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из-пяти глав, введения, заключения, приложений.

Ьо ведении обосновывается актуальность работы и ее практическая значимость. Формулируются цели и задачи исследования, дается краткий обзор работ в области исследования статистических характеристик систем синхронизации.

Первая глава посвящена построению математических моделей непрерывных и дискретных систем ФАП в форме стохастических дифференциальных и разностных уравнений. Особенностью изложения является строгий переход с использованием теории марковских случайных процессов от уравнения Ланже-вена п-го порядка непрерывной ФАП вначале к системе стоха-стичесхих дифференциальных уравнений в нормальной форме с симметризованными дифференциалами (форма Стратоновича), а от нее к системе стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, которая описывает эквивалентный марковский случайный процесс.

Аналогичный подход используется при составлении математической модели дискретной ФАП с частотой дискретизации по Котельникову.

Показано, что математические модели дискретной ФАП с частотой дискретизации по Котельникову, импульсной ФАП, дискретной ФАП с неравномерной дискретизацией при ряде допущений можно представить в виде системы стохастических разностных уравнений одинаковой структуры.

Во второй главе рассматриваются различные методы ана-• лиза статистической динамики непрерывной ФАП второго порядка на основе ее марковской модели. Предлагается три способа численного решения прямого уравнения Колмогорова для плотности распределения вероятностей переменных состояния системы.

Первый способ основан на применении проекционного метода с базисом из функций Хартли и многочленов Эрмита. Отличительной особенностью применения такого разложения является использование специальным образом построенных дифференциальных уравнений относительно весовой функции скалярного произведения, что позволяет ускорить сходимость и повысить устойчивость метода. Этим же методом можно проводить анализ ФАП в установившемся режиме.

Второй метод решения уравнения Колмогорова для ФАП и пропорционально-интегрирующим фильтром основан на комбинации проекционного метода с базисом из функций Хартли и сеточного метода. Этот метод является более устойчивым, чем первый, и позволяет проводить анализ ФАП в широком диапазоне параметров системы.

Третий метод основан на развитом в главе методе суммарной аппроксимации для одного класса систем стохастических дифференциальных уравнений. Метод применяется для решения уравнения Крамерса-Тихонова, является экономичным и позволяет анализировать статистическую динамику ФАП с интегрирующим фильтром в широком диапазоне ее параметров.

Также рассматриваются два приближенных способа анализа статистических характеристик ФАП: метод усреднения и метод кумулянтов. Для метода кумулянтов в нормальном приближении получены дифференциальные уравнения относительно первых и вторых моментов распределения вектора состояния системы п-го порядка в замкнутой форме. Выведены простые. алгебраические уравнения относительно математического ожидания и дисперсии сигнала фазовой ошибки.

На основе вышеизложенных методов исследуется поведение двумерных плотностей вероятности ФАП, отдельных статистических характеристик. Проведено сравнение точности и областей применимости различных приближенных формул с данными численных методов и результатами численного решения системы стохастических дифференциальных уравнений ФАП.

Третья глава посвящена анализу срыва слежения в ФАП второго порядка. Для этого предлагается решать прямое уравнение Колмогорова относительно плотности меры, связанной с распределением координат марковских траекторий с обрывом на границах заданной области. Для решения поставленной краевой задачи предложено использовать два метода.

Первый метод — представляет собой комбинацию проекционного метода и метода прямых. Он позволяет вычислять вероятность срыва слежения и среднее время до срыва слежения.

Второй метод — метод суммарной аппроксимации, используется для решения краевой задачи с нерегулярными краевыми условиями для уравнения Крамерса-Тихонова.

Эффективность методов существенно повышена за счет приема, заключающегося в оценке в процессе численного решения младшего собственного значения производящего оператора прямого уравнения Колмогорова и использовании этой оценки для аппроксимации решения.

Проводится сравнение результатов численных расчетов с данными различных приближенных формул для расчета среднего времени до срыва слежения. Определены возможные погрешности и области применения приближенных формул.

Явление групповых срывов слежения исследовано экспериментально и подтверждено численными расчетами по алгоритмам разработанных методов и данными численного решения системы стохастических дифференциальных уравнений для ФАП.

Результаты расчетов приводятся в виде таблиц и графиков.

В четвертой главе рассматриваются некоторые специфические вопросы анализа систем синхронизации. Показано, что разработанные во второй и третьей главах диссертации методы являются достаточно универсальными, с их использованием может быть решен ряд задач исследования статистических характеристик систем синхронизации при действии широкополосных и узкополосных помех.

Первый раздел посвящен анализу совместного воздействия широкополосной и гармонической помехи на ФАП второго порядка с интегрирующим фильтром и совместного воздействия скользящей узкополосной и широкополосной помех. Анализ проводится с использованием методов, разработанных во второй и третьей главах. Рассматривается плотность распределения вероятностей сигнала рассогласования. Исследуется срыв слежения при действии помех. Результаты расчетов приводятся в виде графиков и таблиц.

Второй раздел посвящен анализу системы с поиском по частоте. Приводятся экспериментальные данные. Показано, что методы, предлагаемые во второй и третьей главах диссертации позволяют получить вероятностное описание процесса захвата сигнала при поиске по частоте на фоне широкополосной помехи.

Третий раздел посвящен анализу системы слежения за задержкой (ССЗ) псевдошумового сигнала второго порядка. Поскольку модель системы слежения за задержкой при принятых допущениях аналогична модели ФАП с точностью до характеристики дискриминатора, которая и в этом случае является периодической, то для анализа ССЗ применяются методы, разработанные во второй и третьей главах. Анализируется срыв слежения в ССЗ. Вычислено среднее время до срыва слежения и вероятность срыва слежения в зависимости от параметров системы.

В четвертом разделе рассматриваются статистическая динамика ФАП второго порядка с интегрирующим фильтром, на вход которой воздействует сигнал с нормально распределенной случайной частотой с экспоненциальной корреляционной функцией. Таким образом, уравнения системы имеют третий порядок. С использованием метода суммарной аппроксимации для указанной системы численно решается прямое уравнение Колмогорова. Приведены зависимости ПРВ фазовой ошибки и ее производной в переходном режиме, вычислены статистические характеристики ошибки слежения при различных параметрах системы.

Пятая глава посвящена некоторым частным вопросам исследования цифровых систем тактовой синхронизации, которые могут применяться после когерентной демодуляции принятого радиосигнала, и вопросам исследования характеристик дискретных ФАП.

В первом разделе исследуется «тонкая» структура (спектр) сигнала рассогласования в цифровой системе тактовой синхронизации, математическая модель которой представляет полумарковскую цепь с конечным числом состояний. Доказана формула об энергетическом спектре полумарковского процесса с конечным числом состояний. Выведенные соотношения позволили провести анализ спектральных характеристик цифровой системы тактовой синхронизации с четырьмя типами фильтров и дать рекомендации по построению таких систем.

Во втором разделе рассматривается применение метода кумулянтов в нормальном приближении для анализа модели ФАП 11-го порядка в форме стохастических разностных уравнений, полученной в первой главе. Для метода кумулянтов в нормальном приближении выведены разностные уравнения в замкнутой форме относительно первых двух моментов распределения вектора состояния. Получены простые уравнения для математического ожидания и дисперсии сигнала рассогласования.

В заключении подводятся результаты проведенных исследований.

5.3. Выводы.

Получено выражение для характеристической матрицы и спектральной плотности мощности одного класса полумарковских цепей, описывающих цифровые системы синхронизации с бинарным квантованием. С использованием полученных формул исследованы спектральные характеристики четырех схем цифровых систем тактовой синхронизации.

Для моделей импульсных и дискретных ФАП, представленных в первой главе, получены уравнения метода кумулянтов в нормальном приближении. Продемонстрирована работоспособность метода для ФАП второго порядка с неравномерным квантованием. Для дискретного аналога интегрирующего фильтра вычислены зависимости среднего времени до срыва слежения от постоянной времени фильтра.

Заключение

.

В диссертации на основе теории марковских случайных процессов и методов вычислительной математики разработаны теоретические положения анализа статистической динамики систем синхронизации при действии помех.

Решена основная цель диссертации — разработаны эффективные численные алгоритмы расчетов статистических характеристик систем синхронизации в переходном режиме при совместном действии широкополосных и узкополосных помех.

Основные теоретические и практические результаты работы состоят в следующем.

1. На основе теории стохастических дифференциальных уравнений и физической трактовке процессов в непрерывных системах ФАП предложены строгие математические процедуры перехода от уравнений ФАП в форме Ланжевена к уравнениям ФАП в форме стохастических дифференциальных уравнений Ито.

2. Для дискретных и цифровых ФАП построены модели в форме стохастических разностных уравнений, имеющие единообразную структуру.

3. Предложен вариант проекционного метода решения прямого уравнения Колмогорова для плотности распределения вероятностей координат системы ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром с использованием базиса из многочленов Эрмита и функций Хартли, реализующий адаптивный выбор параметров весовой функции, что повысило его эффективность.

4. Предложен комбинированный вариант проекционного метода с использованием базиса из функций Хартли и сеточного метода для решения прямого уравнения Колмогорова для плотности распределения вероятностей координат системы ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром.

5. С использованием вышеуказанных методов проведен анализ статистических характеристик ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром. Получены зависимости основных статистических характеристик фазовой ошибки от параметров сигнала и шума в переходном и установившемся режимах.

6. Развит метод суммарной аппроксимации для решения прямого уравнения Колмогорова для одного класса марковских случайных процессов, основанный на использовании вероятностной природы этого уравнения. Указанным методом решено уравнение Крамерса-Тихонова для ФАП с интегрирующим фильтром при анализе ПРВ переменных состояния в переходном режиме и анализе срыва слежения при совместном действии широкополосных случайных и сложных детерминированных узкополосных помех.

7. Предложен эффективный численный алгоритм аппроксимации среднего времени и вероятности срыва слежения, основанный на оценке младшего собственного значения производящего оператора прямого уравнения Колмогорова.

8. Проведено обобщение методов анализа ФАП для исследования системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала.

9. Проведено исследование статистических характеристик в переходном и установившемся режимах ФАП и системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала с пропорционально интегрирующим и интегрирующим фильтрами.

10. Проведено исследование срыва слежения при совместном воздействии на ФАП случайных широкополосных и детерминированных узкополосных помех.

11. Проведено исследование ФАП с интегрирующим фильтром при слежении за сигналом, частота которого представляет собой нормальный марковский случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией.

12. Предложен метод анализа спектральных характеристик цифровых систем тактовой синхронизации с бинарным квантованием, описываемых полумарковскими моделями с конечным числом состояний.

13. Получены простые выражения для анализа установившегося режима непрерывных и дискретных систем синхронизации методом кумулянтов в нормальном приближении.

14. Проверена точность и области применимости различных приближенных формул, используемых при анализе ФАП.

15. Предложен способ уменьшения вероятности срыва слежения в ФАП с интегрирующим фильтром за счет использования нелинейного ограничителя в управляемом генераторе кольца ФАП.