Учение о правильных многоугольниках в историческом развитии

Свое начало учение о правильных многоугольниках ведет из глубокой древности. В орнаментах, обнаруженных археологами, часто встречаются такие фигуры, в том числе, вписанные в окружность. Но если древние художники создавали орнаменты без всякой научной теории, то позднее правильные многоугольники стали предметом внимательного изучения. Построение этих фигур интересовало и ученых, и практиков — представителей искусства и различных ремесленных профессий.

В Древней Греции учение о правильных многоугольниках превратилось в строгую математическую теорию. Задача о построении правильных многоугольников решалась с использованием циркуля и линейки. Евклид (III в. до н.э.) в «Началах» [39] изложил правила построения правильных n-угольников для п — 3,4,5,6,10, и дал метод получения правильного 2п-угольника из данного п-угольника.

Однако для большинства п точное построение правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки найти не удавалось. Архимед (ок. 287 — 212 гг. до н. э.) в трактате «Книга о построении круга, разделенного на семь равных частей» [7, с.401−416] дал построение с помощью циркуля, линейки и, вероятнее всего, конических сечений правильного семиугольника, вызвавшее позднее большой интерес у ученых средневекового Ближнего и Среднего Востока.

Древнегреческими математиками делались попытки построить правильные многоугольники приближенно. Герон Александрийский (I в.) вычислил длины сторон правильных многоугольников, не допускающих точного построения [101, т.1, с.335−338].

Сочинения арабских ученых имеются в рукописях, которые находятся в хранилищах разных стран, но исследованы они далеко не полностью. Только недавно переведены и опубликованы многие работы восточных математиков, трактующие вопрос о правильных многоугольниках. Оказалось, что к таким задачам в своих работах обращались самые выдающиеся арабские ученые, в том числе Абу-л-Вафа ал-Бузджани, ас-Сагани, ал-Кухи, ас-Сиджизи и многие другие.

Мы проанализируем указанные работы с тем, чтобы показать роль их авторов в развитии этого геометрического учения. Нередко историки науки недооценивают ее. Например, Б. И. Аргунов и М. Б. Балк утверждают: «Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.» [6, с.6]. рпровержением этому служит целый ряд сочинений арабских ученых о точном построении правильных семиугольников и девятиугольников — задачах, с которыми древнегреческие математики не справились. Хотя средневековые восточные ученые использовали теорию конических сечений, разработанную в Древней Греции, но применение ее к задачам о правильных многоугольниках в их работах встречается впервые.

Целый ряд методов построения правильных многоугольников предложили великие ученые эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер (1471−3528) и Леонардо да Винчи (1452−1519). Наряду с точными ими были даны и приближенные методы. Создание этих методов они объясняли стремлением облегчить построение правильных фигур художникам и архитекторам, которые не имели больших познаний в математике, но постоянно встречались с необходимостью строить такие фигуры. Подсчеты погрешностей решений Леонардо да Винчи позволяют утверждать, что их вполне можно было использовать в практической деятельности.

Задача о правильных многоугольниках, рассматривавшаяся на протяжении всей своей истории как чисто геометрическая, в общем виде оказалась разрешимой в области алгебры. Только на рубеже XVIII и XIX вв. К. Ф. Гаусс показал, что построение правильного п-угольника с помощью циркуля и линейки возможно лишь в случае, когда п = 2тр1р2. ри где т > 0, р" — простые различные числа вида 22* + 1- к = 0, 1, 2, 3,. Разработав теорию деления круга, он получил один из наиболее глубоких результатов высшей арифметики.

Но история знаменитой задачи древности в геометрии на этом не оборвалась. После решения К. Ф. Гауссом задачи деления окружности на п равных частей возникли новые подходы к этому вопросу: упрощение полученных решений, отыскание новых точных и приближенных способов решения, перенос задачи в неевклидовы геометрии. В результате дальнейших исследований был получен еще ряд интересных результатов и оригинальных построений правильных многоугольников.

Актуальность темы

исследования определяется тем, что математические результаты и методы, полученные при решении задачи о построении различных правильных многоугольниках на протяжении многих веков стимулировали развитие и становление таких математических дисциплин, как алгебра, геометрия и теория чисел.

Цель работы — создать целостную картину развития учения о правильных многоугольниках от древнейших времен до XIX в. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

— исследовать истоки учения о правильных многоугольниках;

— дать обзор результатов, полученных в решении задачи о правильных многоугольниках древнегреческими учеными;

— исследовать все имеющиеся переводы трудов средневековых восточных ученых по вопросу о построении правильных многоугольников;

— упорядочить отрывочные сведения, разбросанные в обширной литературе по рассматриваемой проблеме в трудах европейских ученых ХШ-ХУШ вв.;

— выявить внутренние связи задач о правильных многоугольниках с другими математическими проблемами, решавшимися в ту или иную эпоху;

— выделить разделы математики, в которых нашло применение учение о правильных многоугольниках.

Методы исследования, использованные в работе:

— историко-научный анализ оригинальных работ с привлечением методов современной алгебры и геометрии;

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации являются новыми. До настоящего времени не было работ, содержащих общий обзор поставленной проблемы и освещающих вклад математикой различных эпох в развитие учения о правильных многоугольниках.

Практическая ценность. Результаты диссертаций носят теоретический характер. Они могут быть использованы в исследованиях по истории математики, а также в преподавательской практике — в школьном курсе геометрии, при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров по истории математики, во вводных лекциях по высшей математике, а также при рассмотрении отдельных вопросов конструктивной геометрии.

Содержание работы. Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе излагаются общие сведения о возникновении и развитии учения о правильных многоугольниках. Приводятся краткие данные о математиках разных эпох, внесших вклад в решение отдельных вопросов этого учения. Дается общий обзор литературы, относящейся к теме исследования.

Особое внимание уделено работам, посвященным наименее изученному периоду — восточному средневековью. Среди них важное место занимают работы голландского ученого Я. П. Хогендайка, который вперйые обнародовал тексты ряда ранее неизвестных арабских трактатов и, тем самым, сообщил много новых фактов, существенно дополняющих представления об истории развития теории правильных многоугольников.

Вторая глава диссертации посвящена теории правильных многоугольников, допускающих точное построение с помощью циркуля и линейки, а третья — теории правильных многоугольников, не допускающих такого построения.

В каждой из этих глав сначала многоугольник выступает как объект самостоятельного изучения: описываются интересные свойства фигур, разные способы их построения, характеризуется область применения правильных фигур. Результаты изучаются в хронологическом порядке. Сначала освещается сделанное древнегреческими учеными для решения задачи о правильных многоугольниках, затем дается оценка вклада арабских ученых в развитие вопроса и, наконец, приводятся результаты, полученные европейскими математиками.

В последней части каждого параграфа главы соответствующий многоугольник рассматривается как элемент правильного многогранника.

В четвертой главе изложены основные результаты, прлученные в решении задачи о делении окружности на равные части в XIX в. Отмечены заслуги в разработке теории правильных многоугольников как ученых западных стран, так и вклад русских и советских математиков.

РЛАВА 1 •.

ОБЩИЙ ОБЗОР ИСТОРИИ УЧЕНИЯ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ.

Возникшая в глубокой древности задача о построении правильных многоугольников, по словам профессора А. Я. Хинчина, является одной из «наиболее интересных и поучительных во всей истории математики» [89, с.2]. Многочисленные попытки решения привели к ряду глубоких результатов, относящихся к геометрии и теории чисел.

История задачи неразрывно связана с делением окружности на равные части. Арабский ученый Абу-л-Вафа ал-Бузджани (940−988) отмечал, что «ремесленники строят фигуры, вписанные в окружность, путем деления окружностей на сколько угодно равных частей» [51, с.76]. Действительно, если окружность разделена на п равных частей, то последовательное соединение точек деления приводит к построению правильного п-угольника. Верно и обратное: если построен правильный п-угольник, то легко определяется центр описанной около него окружности.

Таким образом, задачу о построении правильного многоугольника можно рассматривать как задачу о делении окружности на соответствующее число равных частей.

ВЫВОДЫ.

Проделанная работа позволяет сделать следующие выводы:

— 1251. В работе сделана попытка обобщить и проанализировать факты, касающиеся развития учения о правильных многоугольниках.

2. В работе показано, что средневековые учёные стран ислама (Абу-л-Вафа ал-Бузджани, ал-Кухи, ас-Сагани, ас-Сиджизи, Ибн ал-Хайсам и др.) существенно дополнили учение о правильных многоугольниках древнегреческих авторов, разработав геометрические, точные и приближенные, а также вычислительные способы решения задачи о правильных фигурах. В частности, они широко применили теорию конических сечений для построения правильных многоугольников, не допускающих точного построения с помощью циркуля и линейки.

3. В работе показано, что трудности, связанные с точным построением правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, побудили математиков как восточного, так и европейского средневековья к разработке целого ряда приближённых методов построения.

4. Показано, что возникшая как чисто геометрическая задача о правильных многоугольниках нашла выходы в другие области математики. В частности, ее окончательное решение, данное К. Ф. Гауссом, дало начало теориям, оказавшим большое влияние на развитие алгебры, теории чисел и геометрии.

5. В работе обращено внимание на результаты, полученные в теории правильных многоугольников в XIX в. (современные точные и приближенные построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, построения правильных многоугольников различными инструментами, построения правильных многоугольников в неевклидовых геометриях).

6. В работе впервые представлены и проанализированы фрагменты работ Е. С. Фёдорова и В. Я. Буняковского по рассматриваемому вопросу. N.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Рассматриваемая тема — история учения о правильных многоугольниках или деления окружности на некоторое число равных частей — затрагивает самые разнохарактерные вопросы, — от простых геометрических до серьезных вопросов алгебры. Чтобы упорядочить достаточно большой материал, прежде всего, потребовалась схема, позволяющая отразить особенности проблемы и дать общий обзор возникающих вопросов.

Наша схема (см. табл. 1) иллюстрирует историю решения задачи о построении правильных п-угольников для каждого конкретного п, начиная с п = 3. В каждом случае прослеживается развитие методов решения от первых древних простых построений до результатов, полученных в XIX в.

Схема показывает, что правильные многоугольники возникли за долго до нашей эры в связи с практической деятельностью человека. На этой основе в школе Пифагора зарождается теория правильных многоугольников, предполагавшая, что построение этих фигур производится с помощью циркуля и линейки. Но уже древнегреческим ученым было ясно, что такое построение может быть проведено не всегда. Задача построения правильного п-угольника для них была равносильна задаче деления окружности на п равных частей.

Рассмотрим построенную схему для конкретного п.

1) п = 3, 6. Благодаря простоте построений и особым свойствам, правильные треугольники и шестиугольники всегда занимали особое место в теоретических и практических работах. Евклид в «Началах» дал построения с помощью циркуля и линейки этих фигур, которые стали традиционными. Правильные шестиугольники были привлечены к решению задачи о квадратуре круга (Гиппократ Хиосский).

Правильные треугольники и шестиугольники (как и другие правильные фигуры) оказались необходимыми античным ученым в качестве вспомогательного средства для решения астрономических задач («Альмагест» Птолемея). Их результаты способствовали развитию тригонометрии. Значения сторон правильных многоугольников вычисляли для составления тригонометрических таблиц.

Уже в Древней Греции было известно, что правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками можно заполнить плоскость.

Правильный шестиугольник явился предметом специального изучения в трактате Келлера, сыгравшем важную роль в истории теоретической кристаллографии. В этой работе было впервые показано, что кристаллы подчиняются законам геометрии.

Среди кристаллических форм в природе встречаются правильные многогранники, которые были известны еще Платону.

2) п = 4, 8. Большой материал по этому вопросу дает возможность заключить, что квадрат и правильный восьмиугольник имели в истории математики важное теоретическое и практическое значение.

Вписывание квадрата в окружность связано с задачей квадратуры круга. Многие ученые начинали свои попытки найти длину окружности и площадь круга, т. е. определить точное значение тг, с построения этой фигуры, что послужило одной из причин создания учёными разных веков целого ряда разнообразных интересных методов построения квадрата.

Правильные четырехи восьмиугольники сыграли большую роль в архитектуре. Они послужили основой, на которой зодчие разных времён и народов создавали планы сооружений различных архитектурных стилей.

Квадрат является гранью куба. Платон приписывал форму куба простейшим элементам земли, считая, что из всех многогранников он имеет наиболее твёрдые основания. Древние знали, что с помощью одних кубов можно целиком заполнить пространство. Оказалось, что куб — единственный правильный многогранник, обладающий этим свойством.

3) п = 5, 1Q, 15. Задача о построении правильного пятиугольника занимает особое место в математике с древних времён. Она пользовалась популярностью и в другой формулировке: разделить окружность на пять равных частей.

Звёздчатому пятиугольнику или пентаграмме, впервые обнаруженному при par скопках Древнего Вавилона, издавна придавалось мистическое значение.

Построение правильных пятиугольников тесно связано с задачей о золотом сечении, которая привлекала особое внимание учёных разных веков.

К решению задачи о правильном пятиугольнике подходили как с геометрической точки зрения (построение с помощью пересечения некоторых семейств кривыхпрямых, окружностей, конических сечений), так и с вычислительно-алгебраической (нахождение решения соответствующего квадратного уравнения). Второй подход получил распространение у арабских математиков (Абу Камил ал-Мисри).

Учёные эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер и Леонардо да Винчи предположили приближённое построение правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля постоянного раствора для нужд художников и ремесленников.

Правильный пятиугольник часто встречается в природе. Среди кристаллов эта фигура не обнаружена, и очень редко она встречается в строительстве. Как составная часть орнаментов правильный пятиугольник широко используется в архитектуре, живописи, в произведениях гончаров и мастеров-ювелиров.

Двенадцать правильных выпуклых пятиугольников составляют пространственное тело-додекаэдр, геометрия которого связана с «золотым «прямоугольником, игравшим важную роль в математике и архитектуре.

4) В случае п = 7, 9, 11, 13 построить правильный п-угольник точно с помощью циркуля и линейки невозможно. Поэтому уже древние греки стали заниматься получением приближённых способов построения этих фигур.

Для п = 7 они свели задачу к кубическому уравнению, решить которое геометрически можно только с помощью конических сечений. Деление окружности на семь равных частей, предложенное Архимедом и широко использовавшееся математиками последующих веков, основано на делении отрезка В, А точками К и О в таком отношении, чтобы имели место равенства АВ • К В = О А2 и • АК = К В2. Точки К, а О могут быть найдены точно только с помощью конических сечений, чего не использовал Архимед в своём построении.

Различные способы точного решения задачи о построении правильного семиугольника на основе теории конических сечений были предложены в трудах целого ряда средневековых арабских математиков (ас-Сагани, ал-Кухи, ас-Сиджизи, Ибн ал-Хайсам, Абу-л-Джуд и др.). Их построения отличаются друг от друга в большинстве случаев методом нахождения точек, которые делят отрезок в заданном отношении. Стремясь упростить построение, арабские учёные использовали разные комбинации конических сечений.

В восточных трактатах были найдены и приближённые построения семиугольника (Абу-л-Вафа ал-Бузджани). Появление такого рода построений объясняется необходимостью использования в практике простых и удобных построений, для которых точность не является главным требованием.

Альбрехт Дюрер разработал удобный и приближённый метод решения задачи: в качестве стороны правильного вписанного семиугольника он предложил взять половину стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность.

5) п = 9. Построение правильного девятиугольника или деление окружности на девять равных частей вызывало большой интерес у учёных разных времён, в том числе и у математиков средневекового Востока. Некоторые арабские сочинения содержат оригинальные решения этой задачи, в основе большинства которых лежит идея трисекции угла или дуги. Для деления угла на три равные части восточные математики применяли методы, как заимствованные у греческих геометров, так и свои собственные, основанные на теории конических сечений.

Арабским математикам также было известно, что в алгебре задача построения правильного девятиугольника сводится к кубическому уравнению (равнозначность задач показал Абу-л-Джуд ибн ал-Лайс). Ими же были предложены различные способы вычисления стороны правильного девятиугольника в связи с задачей нахождения значения sin Io необходимого для астрономических подсчетов.

В эпоху Возрождения оригинальные способы приближённого построения правильного девятиугольника были предложены Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Эта задача интересовала их прежде всего как художников.

6) п = 11, 13. Приближёное построение правильных многоугольников с одиннадцатью и тринадцатью сторонами было дано А. Дюрером.

7) В конце XVIII — начале XIX вв. К. Ф. Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки задача деления окружности на п равных частей или построения правильных n-угольников разрешима лишь при п = 2mpip2 ¦••Ри гДе га > 0, p? (? = 1,2,. I)) — простые различные числа вида 22* + 1 (к = О, 1,2,.). Теория деления круга подробно изложена Гауссом в седьмом разделе «Арифметических исследований» .