Основы нечетких множеств

Понятие нечетких множеств

Рассмотрим основные понятия нечетких систем, привлекая только самые основные математические понятия. Среди многочисленных работ, посвященных нечетким системам [4−12, 26] (приведены только некоторые основные работы на русском языке) зачастую нет единой терминологии. За небольшими исключениями используем терминологию, принятую в [12].

В классической теории множеств некоторый элемент* или принадлежит некоторому множеству, 4 или не принадлежит множеству А. Принадлежность множеству можно описать с помощью характеристической функции Хл^х), которая принимает два значения.

Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать — принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет [12]. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: «Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?» Можно этот вопрос задать и по-другому: «Обладают или нет его элементы некоторым характеристическим свойством, которое может быть использовано для задания этого нечеткого множества?».

Для определения нечеткого множества используется обобщение понятия характеристической функции — функция принадлежности /л_л{х)_у показывающая степень принадлежности элемента * нечеткому множеству А. При этом возможны три случая:

И_А (^х) = 1 означает полную принадлежность элемента х нечеткому множеству А;

ц_А(х) = 0 означает, что элемент х не принадлежит нечеткому множеству А;

О < //_л (jc) < 1 означает, астичную принадлежность элемента X нечеткому множеству А.

Тогда нечеткое множество может быть определено как множество упорядоченных пар А = |дг, /л_А (jt)J. Нечеткие множества с конечным количеством элементов часто записываются в виде.

При этом горизонтальная черта не является знаком деления, а приписывает конкретным элементам определенных степеней принадлежности. Знак «+» означает теоретико-множественное объединение элементов.

Если элементы нечеткого множества принадлежат пространству X с бесконечным количеством элементов, то нечеткое множество иногда символически записывают в виде.

Нечеткость часто путают с вероятностью. Среди неопределенности выделяют стохастическую и лингвистическую неопределенности. Стохастическая неопределенность существуют только для точно описанных событий, которые в будущем могут произойти, а могут не произойти. Когда событие произошло, понятие вероятности его совершения теряет смысл.

Лексическая неопределенность означает неопределенность в описании события независимо от времени их рассмотрения. Например, имеется нечеткое множество «Рост человека» со значениями «низкий», «средний», «высокий». Функция принадлежности значения «высокий», равная, например, 0,25 не означает, что с вероятностью 0,25 в большой выборке будут встречаться высокие люди. Функция принадлежности означает лишь субъективную оценку степени принадлежности понятия «высокий» множеству «Рост человека».

Введем некоторые понятия, связанные с нечеткими множествами.

Пустым нечетким множеством 0 называется нечеткое множество, нс содержащее ни одного элемента. Формально функция принадлежности пустого множества равна нулю для всех его элементов.

Универсум (универсальное множество) — обычное множество, содержащее в рамках некоторого контекста все возможные элементы. Формально функция принадлежности универсума равно единице для всех элементов множества. Будем обозначать универсум через X.

Носителем нечеткого множества А называется четкое подмножество области определения X, содержащее все элементы, для которых функции принадлежности нечеткого множества А отличны от нуля 5(^) = supp (^) = |x: /л_А[х)> 0, хеХ}.

Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством. Нечеткое множество, носитель которого не является конечным множеством, называется бесконечным.