Заказать курсовые, контрольные, рефераты...
Образовательные работы на заказ. Недорого!

Линейно-степенная задача оптимального управления

Диссертация: Линейно-степенная задача оптимального управления
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Дискретная линейно-степенная задача: построение регулятора. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ8. 1. Примеры. Линейно-квадратичная задача на бесконечном интервале времени. ЗАДАЧА (Р, Р) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ5. 1. Задача (р, р) на конечном интервале — формулировка результата. Отличие от задачи (1,Р). Линейно-степенная задача. постановка и мотивировка. ЗАДАЧА (Р, 1) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ4. 1… Читать ещё >

Содержание

  • 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ
  • 2. ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА. ПОСТАНОВКА И МОТИВИРОВКА
  • 3. ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ ЗАДАЧА
    • 3. 1. Линейно-квадратичная задача на конечном интервале времени
    • 3. 2. Линейно-квадратичная задача на бесконечном интервале времени
  • 4. ЗАДАЧА (Р, 1) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
    • 4. 1. Задача (рД) на конечном интервале-формулировка результата. Связь с уравнениями Лурье-Риккати
    • 4. 2. Доказательство теоремы о регуляторе для задачи Ря (р, 1, а, Т)
  • 5. ЗАДАЧА (Р, Р) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
    • 5. 1. Задача (р, р) на конечном интервале — формулировка результата. Отличие от задачи (1,Р)
    • 5. 2. Регулятор для задачи (р, р) на конечном интервале
  • 5. 3. Частный случай: одномерное пространство состояний
  • 6. ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
    • 6. 1. Решение задачи Рк (р, р, а,+оо) — доказательство теоремы
    • 6. 2. частный случай задачи Рк (Р, Р, А,+оо): одномерное пространство состояний
    • 6. 3. Частный случай задачи Ря (р, 1, а,+оо): одномерное пространство состояний
  • 7. ДИСКРЕТНАЯ ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
    • 7. 1. Постановка дискретной линейно-степенной задачи
    • 7. 2. Дискретная линейно-степенная задача: построение регулятора
    • 7. 3. Дискретная линейно-степенная задача: формулировка результата
  • 8. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
    • 8. 1. Примеры
    • 8. 2. Численное решение уравнения (5.5)

Линейно-степенная задача оптимального управления (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Раздел теории управления, изучающий конструирование оптимальных регуляторов — направление, возникшее исторически сравнительно недавно. В 60-е годы как в нашей стране, так и за рубежом появилась серия работ [1][2][3][4][12][13], заложивших основу и предвосхитивших многие глубокие результаты. Столь большая популярность теории конструирования регуляторов объясняется, на наш взгляд, двумя причинами:

— практической значимостью результатов,.

— глубиной и нетривиальностью математического аппарата, созданного для их получения.

Методы решения задач математической теории оптимального управления столь общие и затрагивают столь широкий спектр математических дисциплин, что бывает нелегко провести границу там, где кончается математический и функциональный анализ и начинается теория управления, решающая задачи, возникающие в электродинамике, механике, экономике, химии,. Таким образом, в этой отрасли.

4С 55 математики счастливо сочетаются как красота чистои математики, так и.

СС 55 г-> с/ польза прикладной. За последние несколько десятилетии эта теория стала инструментом решения инженерных задач. Многие специалисты-" техники", а вовсе не математики, хорошо владеют её результатами и применяют их в своей работе. Этим, в свою очередь, объясняется повышенный интерес самих математиков к теории конструирования регуляторов. Это — один из тех разделов математики, где «придумывание и доказательство новых теорем» может принести вполне реальную экономическую отдачу.

В диссертации получен ряд результатов о существовании оптимальных процессов и оптимальных регуляторов для большого класса задач, для которых автор взял на себя смелость ввести термин «линейно-степенные», то есть задач с линейным (непрерывным или дискретным) уравнением объекта и функционалом качества, содержащим возведение в степень (которая обычно предполагается большой). Хорошо известна линейно-квадратичная задача о минимизации квадратичного функционала от процесса, удовлетворяющего линейному дифференциальному уравнению. В разных вариантах постановки линейно-квадратичной задачи её решение получено [2][3][4][12][13] в виде оптимального регулятора, не зависящего от начального условия. Диссертация посвящена исследованию задачи, в которой вместо квадратичного функционала фигурирует степенной, то есть содержащий под интегралом возведение в степень (простейший пример: т х (1)|2р+|и (0|2р)с!1). Постановка задачи восходит к линейно-квадратичной о задаче [14] [22] и при изложении (там, где это возможно) будет прослежена связь с линейно-квадратичной задачей. Оказывается, имеют место некоторые результаты, аналогичные (хотя и не полностью) теоремам о линейно-квадратичной задаче. Помимо того, что изучение минимизации степенного функционала представляет самостоятельный интерес, задача эта тесно связана с задачей минимизации максимального отклонения, часто встречающейся на практике. При больших степенях р в степенном функционале оптимальный процесс, как правило, близок к некоторому оптимальному или почти оптимальному процессу для минимаксной задачи. Подробнее мотивировка линейно-степенной задачи обсуждается в главе 2.

Заключение

.

В диссертации рассмотрена задача управления линейным объектом с минимизацией функционала, содержащего возведение в степень. Получены результаты о существовании и единственности оптимального процесса при определённых условиях. Особое внимание уделено задаче с квазиоднородным степенным функционалом на конечном интервале времени — в частности, для неё получено уравнение в частных производных (аналогичное уравнению Лурье-Риккати), которое может быть использовано для построения решения линейно-степенной задачи оптимального управления в виде оптимального регулятора. Проведено компьютерное моделирование. Основной вывод, который можно сделать из результатов диссертации — возможность содержательного обобщения результатов линейно-квадратичной задачи для функционалов более сложного вида, чем квадратичные.

Автор благодарит научного руководителя В. А. Якубовича за постановку и обсуждение задачи, а также за моральную поддержку при подготовке диссертации. Благодарность Н. Н. Уральцевой, Л. А. Оганесяну,.

A.С.Матвееву, любезно согласившимся разобраться в работе и высказать важные замечания и уточнения. Полезные консультации и помощь при работе с литературой оказали также А. Б. Куржанский (Москва);

B.Н.Фомин, В. Ф. Демьянов, С. В. Гусев, Н. Докучаев, А. С. Ширяев, (С-Петербург) — Н. Ю. Лукоянов (Екатеринбург).

Работа поддержана стипендией Президента РФ № 2114/26 от 17.10.1998, грантом Мэрии и Правительства Санкт-Петербурга М97−2.К-549 на 1997 год, грантом французского математического общества и фондом ProMathematica.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.И.Лурье. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. Москва, Гостехиздат, 1951.
  2. А.М.Летов. Аналитическое конструирование регуляторов. Автоматика и телемеханика, 1960, т.21, № 6, с.5−14.
  3. R.E.Kalman. Contribution to the theory of optimal control. Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana, 1960, № 5, p. 102−119.
  4. R.E.Kalman. Lyapunov function for the problem of Lur’e in automatic control. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1963, v.49, № 2, p.201−205.
  5. В.Г.Болтянский. Математические методы оптимального управления. М.1969.
  6. Н.Н.Красовский. Дополнение IV в книге: И. Г. Малкин. Теория устойчивости движения. М., Наука, 1976.
  7. Л.С.Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М.1976.
  8. А.А.Первозванский. Курс теории автоматического управления. Москва, «Наука», 1986.
  9. А.А.Красовский. Справочник по теории автоматического управления. Москва, «Наука», 1987.
  10. А.Х.Гелиг, Г. А. Леонов, В. А. Якубович. Устойчивость нелинейных систем с неединственпым состоянием равновесия. Москва, 1978.
  11. Ph. Hartman. Ordinary Differential Equations. New York, London, Sydney, 1964.
  12. В. А. Якубович. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 6, с. 1304−1307.
  13. В.А. Якубович. Частотные условия абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. В книге «Тр. межвуз. конф. по прикл. теории устойчивости и аналит. механике (Казань, 1962)». Казань, КАИ, 1964, с.135−142.
  14. В.А. Якубович. Частотная теорема в теории управления. Сиб. мат. журн., 1973, т. 14, № 2, с.384−420.
  15. В.А.Якубович. Частотная теорема и теория аналитического конструирования регуляторов для периодических систем. В книге «Метод функций Ляпунова в исследовании динамических систем», Новосибирск, 1987, стр.281−290.
  16. В.А.Якубович. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем I. Сиб. мат. журн., 1986, т.27, № 4, с. 181−200.
  17. А.С.Матвеев, В. А. Якубович. Абстрактная теория оптимального управления. Санкт-Петербург, 1994.
  18. В.А.Якубович. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем II. Сиб. мат. журн., 1990, т.31, № 6, с. 176−191.
  19. В.А. Якубович. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы. Доклады Академии Наук, 1994, т.337, № 3, с.323−327.
  20. В.А. Якубович. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных стохастических колебаний в линейной системе. Доклады Академии Наук, 1994, т.338, № 1, с. 19−24.
  21. A.Lindquist, V.A.Yakubovich, 1997. Optimal Damping of Forced Oscillations in Discrete-Time Systems. IEEE Transactions on Automatic Control. June 1997, v.42, № 6, pp.786−802.
  22. А.С.Матвеев, В. А. Якубович. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. СПб, 1999 (ещё не опубликовано).
  23. J.C.Willems. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Aut. Contr., 1971, v. AC-16, pp.621−634.
  24. В.Ф.Демьянов. Негладкие задачи теории оптимизации и управления. Ленинград, 1982.
  25. G.V.Kronin. The optimal control problem with p-degree quality functional. Proc. of International Conference of students and post-graduates «Lomonosov-97», Moscow State University, Moscow, 1997, April 6−11.
  26. G.V.Kronin. The optimal control problem with p-degree quality functional. Proc. of «Control of Oscillations and Chaos», St-Petersburg, 1997, vol.1, p. 92−95.
  27. G.V.Kronin. Optimal control problem with linear object equation and non-quadratic homogenous gain functional. Proc. of «Tools for Mathematical modeling», St-Petersburg, 3−6 Dec. 1997, p.39−40.
  28. G.V.Kronin. Optimal regidators for the control problem with non-quadratic quality functional. Russian-Swedish Control Conference, Stockholm, 11−13 May 1998.
  29. T.Ohtsuka, H.A.Fujii. Shaping of System Responces with Minimax Optimization in the Time Domain. J. of Guidance, Control and Dynamics, vol.16, № 1, 1993, pp. 40−46.
  30. T.Ohtsuka, H.A.Fujii. Computational method for minimax optimization in the time domain. J. of Guidance, Control and Dynamics, vol.17, № 3, 1994, pp. 473−479.
  31. E.N.Barron, H.Ishii. The Bellman equation for minimizing maximum cost. Nonlinear Analysis, Methods and Applications, v. 13, № 9, 1989, p. 1067−1090.
  32. G.J.Michael. Computation of Chebysheff Optimal Control AIAA Journal, vol. 9, № 5, 1971, pp.973−975.
  33. C.D.Johnson. Optimal control with Chebyshev Minimax Performance Index. Joint Automatic Control Conference., AIAA New York, 1966, pp.345−358.
  34. R.T.Rocafellar. Convex Analysis, Princeton University press: Princeton, New Jersey, 1970.
  35. A.E.Taylor. Introduction to Functional Analysis. Wiley, New York, 1958, p.ll.
  36. J.Ackermann. Robust Control. Systems with Uncertain Physical Parameters. Springer-Yerlag, 1993, pp.9−19.
  37. J.Ackermann. Robust Control. Systems with Uncertain Physical Parameters. Appendix A. Springer-Verlag, 1993.
Заполнить форму текущей работой

Сдать сессию!