Введение. 
Геометрические характеристики плоских сечений

Напряженно-деформированное состояние бруса зависит не только от внешней нагрузки, но также и от формы и размеров его поперечного сечения. Эту зависимость можно учесть, вводя так называемые геометрические характеристики поперечного сечения бруса. К ним относятся: площадь сечения, статические моменты, осевые и центробежный моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции и так далее.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение стержня), покажем систему координат (рисунок 1). Обозначим через, А площадь всей фигуры, через dA—элемент площади, вырезанный вокруг произвольной точки фигуры с координатами x, y.

Рисунок 1

Статическими моментами S_X, S_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

Размерность статических моментов: [см³, м³, ].

Осевыми моментами инерции J_X, J_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

Полярным моментом инерции J_P называется выражение:

Центробежным моментом инерции J_XY называется выражение:

Размерность осевых, полярного и центробежного моментов инерции: [см⁴, м⁴, ].

Осевыми моментами сопротивления сечения W_X, W_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

Здесь |x_max|; |y_max| - расстояния от осей X, Y соответственно до наиболее удаленных точек сечения (рис.2).

Рисунок 2

Полярным моментом сопротивления сечения W_P называется выражение:

Здесь с_max — расстояние от начала координат до наиболее удаленной точки сечения (рис.2).

Размерность моментов сопротивления: [см³, м³, ].

Осевыми радиусами инерции сечения i_X, i_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

Размерность радиусов инерции: [см, м, ].

Как следует из приведенных определений, осевые и полярные моменты инерции и моменты сопротивления, а также радиусы инерции сечения могут принимать только положительные значения, а статические и центробежный моменты могут принимать положительные, отрицательные и нулевые значения.

Из определения геометрических характеристик также вытекает, что их величины существенно зависят от выбора системы координат. Вычисляя геометрические характеристики сечения относительно разных систем координат, мы будем получать и разные значения геометрических характеристик для одного и того же сечения бруса. Например, вычисляя Wx для разных системOXY и CX₁Y₁ (рис.3), мы будем иметь разные значения y_max, а, значит, и разные значения Wx.

Рисунок 3

Действительно, Чтобы избавиться от такого произвола, необходимо систему координат связать с рассчитываемым сечением бруса. Сделать это можно следующим образом.

Начало координат поместим в центр тяжести сечения — т.С. Полученные таким образом оси CXY, CX₁Y₁, CX₂Y₂, CX₃Y₃ (рис.4) называются центральными.

Рисунок 4

Геометрические характеристики сечения, в частности, осевые и центробежный моменты инерции, вычисленные относительно разных центральных осей CXY, CX₁Y₁, CX₂Y₂, CX₃Y₃ будут иметь, конечно, разные значения. Можно показать, что найдутся такие оси CXY, относительно которых центробежный момент инерции Jxy=0. Такая система называется главной центральной системой координат.

Осевые моменты Jx, Jy, вычисленные относительно главной центральной системы координат, называются главными центральными моментами инерции. Они обладают свойством экстремальности: относительно одной из главных осей момент инерции максимален, а относительно другой — минимален.

Геометрические характеристики поперечного сечения бруса, входящие во все основные формулы сопротивления материалов, всегда определяются относительно главных центральных осей.