Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты
Рисунок 3.1 — График зависимости оценки ошибки от шага интегрирования для методов Рунге — Кутты 2-го и 4-го порядков Из графика видно, что при уменьшении шага интегрирования, оценка ошибки интегрирования уменьшается для обоих методов. При дальнейшем уменьшении шага интегрирования, оценка ошибки возрастает, что объясняется увеличением вычислительной ошибки. При значениях шага меньше 10−6, оценки… Читать ещё >
Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
3.1 Анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвёртого порядков.
Оценка ошибки интегрирования на интервале определяется как.
.
На рисунке 3.1 представлен график зависимости оценки ошибки от величины шага интегрирования, для методов Рунге — Кутты 2-го и 4-го порядков.
Рисунок 3.1 — График зависимости оценки ошибки от шага интегрирования для методов Рунге — Кутты 2-го и 4-го порядков Из графика видно, что при уменьшении шага интегрирования, оценка ошибки интегрирования уменьшается для обоих методов. При дальнейшем уменьшении шага интегрирования, оценка ошибки возрастает, что объясняется увеличением вычислительной ошибки. При значениях шага меньше 10-6, оценки ошибок методов второго и четвертого порядков совпадают. Так же из графика видно, что для метода четвертого порядка минимальная оценка ошибки достигается при гораздо большем значением шага, чем для метода второго порядка.
3.2 Проверка гипотезы Рунге
Согласно гипотезе Рунге, глобальная ошибка алгоритма при интегрировании дифференциального уравнения с постоянным шагом пропорциональна величине шага в степени, равной порядку метода[2]. Для проверки гипотезы вычислим отношения величины оценки ошибки к величине шага интегрирования в степени, равной порядку метода.
На основании полученных данных построим графики зависимости коэффициента пропорциональности С от шага интегрирования h, для методов Рунге — Кутты 2-го и 4-го порядков. График зависимости коэффициента C от шага интегрирования h, приведены на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 — График зависимости коэффициента С от шага интегрирования h для методов Рунге — Кутты 2-го и 4-го порядков Из графика видно, что гипотеза Рунге подтверждается только на интервале значений шага [2;10-3], на котором влияние вычислительной ошибки незначительно. При дальнейшем уменьшении шага, пропорциональность нарушается, это объясняется тем, что гипотеза Рунге не учитывает влияние вычислительной ошибки. Гипотеза Рунге также не подтверждается для значений шага больше единицы, так как для них нарушается устойчивость алгоритма, и увеличивается влияние знаменателя.
Так же можно наблюдать, что коэффициент пропорциональности для метода четвертого порядка на несколько порядков меньше, чем для метода второго порядка, что согласуется с теорией.