Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка с синектической связностью

Геометрия касательного расслоения над дифференцируемым многообразием Мп является одним из интенсивно развивающихся разделов теории расслоенных пространств. Впервые расслоения ргструй высших порядков, к числу которых принадлежат касательные расслоения высших порядков, были введены С. Эресманом [40,41]. Позже А. Вейлем [65] было замечено, что эти расслоения могут быть включены в общую теорию расслоения «близких точек» над локальными алгебрами. Использование локальной алгебры позволяет строить лифты тензорных полей и связностей с базового многообразия в расслоение Вейля. Такие построения были приведены в работах Моримото, Коларжа и других ученых. Результаты исследований по расслоениям Вейля над локальными алгебрами были описаны в монографии [51]. Интенсивное изучение касательных расслоений началось в конце 50-х годов прошлого столетия. Эти исследования были в основном посвящены касательным расслоениям первого порядка. Так вышла в свет работа Ш. Сасаки [60], где он определил в касательном расслоении метрику, названную в последствии его именем, рассмотрел ряд вопросов, связанных с изометрией в касательном расслоении, ввел предварительные понятия вертикального и полного лифтов векторных и ковекторных полей с базисного многообразия в его касательное расслоение.

Дальнейшее развитие теория касательных расслоений получила в работах К. Яно [66−71], А. Леджер [70], Ш. Кобаяси [68,69], Ш. Ишихара [66,67], где была построена и изучена линейная связность в касательном расслоении, полный, вертикальный и горизонтальный лифты векторных и тензорных полей в касательном расслоении.

Геометрии касательных расслоений 1-го порядка посвящены работы отечественных ученых А. П. Широкова, Н. В. Талантовой, В. Л. Спесивых,.

В.В. Шурыгина, Б. Н. Шапукова и их учеников. Значительный вклад в эту область внесен Ф. И. Каганом.

Моримото А. [57] подробно изложил идеи А. Вейля применительно к лифтам тензорных полей и связностей в расслоения «близких точек». Им же в работах [56−58] рассмотрены на касательном расслоении Тг (Мп) порядка г некоторые классические структуры: почти комплексную, симплектическую, псевдориманову. Построены продолжения тензорных полей и связностей с многообразия Мп на его касательные расслоения Т (Мп), Т2 (Мп) 5 обобщая их на случай касательного расслоения.

Тг (Мп) порядка г.

B. В. Вагнером [3] была установлена связь локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией касательных пространств высших порядков и дифференциально-геометрических объектов высших порядков.

К. Яно, Ш. Исихара [67] подвели итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года, в частности, изучали продолжения тензорных полей, связностей и G-структур в касательное расслоение высшего порядка.

C. Ишикава [43] получил результаты об инфинитезимальных изометриях и аффинных коллинеациях в касательных расслоениях 2-го порядка ТМп) 5 Где Мп — риманово многообразие или многообразие аффинной связности.

Построение теории голономных и полуголономных касательных расслоений р-то порядка с помощью расслоений голономных и полуголономных р-кореперов осуществлено в статье Ю. Г. Лумисте [17].

Л. Е. Евтушик и В. В. Третьяков [6, 25] использовали расслоение р-скоростей для построения нелинейной р-связности, ассоциированной с системой обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка. Систематический анализ работ по геометрии дифференциальных уравнений, показывающий роль расслоений /^-скоростей в этой теории, произведен в обзоре В. И. Близникаса и 3. Ю. Лупейкиса [1,2].

М. О. Рахула [20] указал подход к теории связностей высших порядков с помощью цепочки последовательных касательных расслоений исходного многообразия.

Расслоения 2-го порядка исследовала Кац [37,3 В], уделив особое внимание связностям и пульверизациям в Т2 (Мп) .

A. П. Широковым [27] были обнаружены структуры многообразий над алгебрами на касательных расслоениях и расслоениях А-близких точек в смысле А. Вейля, что позволило упростить построение лифтов тензорных полей и линейных связностей с базовых многообразий на указанные расслоения (К. Яно и Ш. Кобаяси [68], А. Моримото [56], Р. Баумана [34], JI. Паттерсона [59]).

B. В. Вишневским [4, 5] были введены полукасательные расслоения k-го порядка, обобщающее понятие касательного расслоения порядка к и изучались структуры многообразий над алгебрами плюральных чисел, возникающие на этих расслоениях.

Изучению различных структур касательных расслоений посвящают свои работы А. П. Широков, В. В. Вишневский, В. В. Шурыгин [29]. Они рассматривали вопросы о лифтах в Tr (Мй)5 строят синектическое расширение полного лифта аффинной связности из мп в Г{МП).

Р. Бауман [36] исследовал расслоение касательных векторов порядка г и расслоение r-струй диффеоморфизмов окрестности нуля в многообразие Мп? показывая, что расслоение касательных векторов порядка г может рассматриваться как расслоение, ассоциированное с главным расслоением. r-струй диффеоморфизмов.

Р. Мирон, Г. Атанасиу [54] изложили локальную теорию касательных расслоений высших порядков в следующем плане: локальные координаты и их преобразование, вертикальное распределение и его флаговая структура, поля Лиувилля, k-касательная аффинорная структура, нелинейная связность горизонтального распределения, структура почти произведения, алгебра d-тензорных полей и вполне приводимые линейные связности на тотальном пространстве расслоения, ее тензоры кривизны и кручения.

Работа И. Ганзарзевича и И. Коларжа [44] посвящена расширенным касательным расслоениям порядка г над дифференцируемым многообразием на которых вводятся 4 естественных аффинора.

Горизонтальные поднятия тензорных полей и связностей на касательные расслоения высшего порядка изучены в работе Й. Ганзарзевича и М. Салгадо [45].

К. М. Егиазарян [7] изучал касательное расслоение второго порядка.

ТМп) многообразия Мп 5 рассматривая его как новое расслоенное пространство с базой Т (Мп).

Способ построения полного поднятия тензорной алгебры с многообразия на многообразие 2-струй с помощью метода репера, адаптированного к некоторому поднятию заданной связности был предложен В. JI. Спесивых [22].

Е. П. Шустова [31, 32] исследовала полный лифт аффинной связности и метрики в касательном расслоении порядка г. Она же, с помощью аффинной связности, установила диффеоморфизм касательного расслоения 3-го порядка в сумму Уитни трех экземпляров касательных расслоений.

Т. В. Капустина [15, 16] рассматривала касательное расслоение Т2{Мп) риманова многообразия Мп и, в частности, изучив в Т2(Мп) свойства так называемой синектической римановой метрики, близкой к метрике полного лифта.

А. Я. Султановым были построены натуральные лифты векторных полей, r-форм из Мп в jтМп [23], лифты функций и тензорных полей из.

М. в расслоение Вейля Мп и синектический в смысле А. П. Широкова лифт линейной связности. В результате изучения голоморфных связностей на МпА было установлено, что всякий синектический лифт линейной связности является вещественной реализацией некоторой голоморфной линейной связности на Мп [24].

Теория касательных расслоений высших порядков развивалась в различных направлениях. Так изучалась гармоничность касательных расслоений r-го порядка и исследовались вопросы о гармоничности индуцированных отображений касательных расслоений [64]- рассматривалась структура естественных операторов в смысле Коларжа применительно к случаю касательного расслоения второго порядка [39]- излагалась теория касательных расслоений высшего порядка, рассматривая свойства натуральных атласов этих пространств [49]- изучалось кручение связности касательного расслоения порядка г [52]- было обобщено понятие связности Грифона на касательном расслоении второго порядка [33].

Теория расслоений находит применение в геометрии, теории дифференциальных уравнений, анализе, теории групп. Актуальность работы в этом направлении диктуется как самой логикой развития дифференциальной геометрии, так и многочисленными приложениями теории расслоенных пространств.

В настоящее время геометрия касательного расслоения изучается в различных направлениях. Значительное место занимает вопрос о касательных расслоениях дифференцируемых многообразий и об инфинитезимальных преобразованиях касательных расслоений над дифференцируемым многообразием с заданной связностью.

Настоящая диссертация по своей теме относится к теории касательных расслоений дифференцируемых многообразий.

Основная цель работы. Нахождение канонического разложения произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка Т2{Мп) с синектической связностью V и необходимых и достаточных условий существования этого преобразования.

Метод исследований. Исследования проводятся в тензорной форме, локально. Функции, тензорные поля предполагаются гладкими класса С00. В работе используются обозначения, введенные К. Яно, Ш. Исихара [67].

Научная новизна. В работе впервые получено каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка Т2(Мп) с синектической связностью V .

Выяснена структура тезорных полей, входящих в это каноническое разложение.

Найдено каноническое разложение произвольного инфинитезимального проективного преобразования пространства.

Т2(Мп) со связностью полного лифта Vе. Получены необходимые и достаточные условия существования этого преобразования.

Теоретическое значение. Результаты диссертации имеют теоретический характер и являются продолжением исследований, проводившихся при изучении инфинитезимальных преобразований касательного расслоения первого и второго порядков. Они могут быть использованы для дальнейшего развития теории расслоений второго, а так же высших порядковдля чтения спецкурсов и проведения спецсеминаров со студентами и аспирантами.

Диссертация изложена на 111 страницах и состоит из введения, четырех глав, содержащих десять параграфов и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная.

1. Близникас В. И. Геометрия систем дифференциальных уравнений // Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Тезисы докладов. —Минск, 1979. —С. 27.

2. Близникас В. И., Лупейкис 3. Ю. Геометрия дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. — Т. 11. — Москва, 1974. — С. 209 — 259.

3. Вагнер В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 10. — МГУ, 1956. —С. 31—88.

4. Вишневский В. В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. — Т. 20. — Москва, 1988. — С. 35—75.

5. Вишневский В. В. Лифты дифференциально-геометрических структур в полукасательные расслоения высших порядков // Изв. вузов. Математика. — 1995. — № 5. — С. 16—24.

6. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. — Т. 9. — Москва, 1979. — 247 С.

7. Егиазарян К. М. О структуре аффинных связей и тензорных полей на касательном расслоении высшего порядка // Докл. АН СССР.— 1979.— т.246.— № 4.— С.797— 801.

8. Егиазарян К. М. О проектируемости полных лифтов тензорных полей на2 1расслоении TM (TM,^2)// Уч. зап. Ереван, ун-т. Естеств. Н: Ереван, 1982.—№ 2.—С.14—21.

9. Егоров И. П. Движение в пространствах аффинной связности // Учен, зап. Пенз. пед. ин-та: Пенза, 1965.— С.5—179.

10. Каган Ф. И. К теории лифтов для тензорных полей из многообразия в его касательный пучок // Изв. вузов. Математика. — 1969.— № 9.— С.37—48.

11. Каган Ф. И. О некоторых типах аффиннорных структур в касательном пучке дифференцируемого многообразия // Укр. геом. сб.— 1970.— С. 49—68.

12. Каган Ф. И. Римановы метрики в касательном расслоении над римановым многообразием // Изв. вузов. Математика. — 1973.— № 6.—С.42—51.

13. Каган Ф. И. Аффинные связности на касательном расслоении // Изв. вузов. Математика. — 1975.— № 2.— С.31—42.

14. Каган Ф. И. Каноническое разложение проективно-киллинговых и аффинно-киллинговых векторов на касательном расслоении // Матем. Заметки. — 1976.— Т.19.— № 2.—-С. 247— 258.

15. Капустина Т. В. О синектической метрике в касательном расслоении второго порядка риманова пространства // Изв. вузов. Математика. — 1977.

16. Капустина Т. В. Инфинитезимальные голоморфно-проективные и голоморфно-комформные преобразования касательного расслоения второго порядка риманова пространства // Изв. вузов. Математика. — 1985.

17. Лумисте Ю. Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурые уравнения расслоения р-кореперов // Тр. Геометр, семинара (Всес. ин-т науч. и техн. информ.). — Москва, 1974. — С. 239 —257.

18. Переломова Н. И., Широков А. П. Касательное расслоение второго порядка проективной прямой и геометрия Лобачевского // Казань: Казанский ун-т, 1988.

19. Подольский В. Г. Специальное инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении римановых многообразий // Диссертация канд. физ.- матем. наук, — Казань, 1981.

20. Рахула М. О. Инфинитезимальная связность в расслоении // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. — Т. 8. — Москва, 1977.С.163 — 183.

21. Салдина О. И. О синектических связностях в касательном расслоении второго порядка группы Ли // Казайь: Казанский ун-т, 1987.

22. Спесивых В. Л. Полное поднятие тензорной алгебры с многообразия на его пространство 2-струй // Изв. высш. учебн. заведений. Математика, — 1976.— JN"8.— С.104— 106.

23. Султанов А. Я. Продолжение римановых метрик из базы в расслоении струй второго порядка дифференцируемых отображений // Междунар. геом. шк, — семин. памяти Н. В. Ефимова, АбрауДюрсо, 24 сентября— 4 октября 1996 г.— Ростов на-Дону, 1996.— С. 26.

24. Султанов А. я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. высш. учёбн. заведений. Математика. — 1999. — № 9. — С.64—72.

25. Третьяков В. Б. Нелинейные трсвязности в пространствах т-протяжений высших порядков // Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Тезисы докладов. — Минск, 1979. — С. 200.

26. Шадыев X. Инфинитезимальные преобразования синектических связностей и метрик в касательном расслоении // Диссертация канд. физ.- мат. Наук.— Казань, 1990.— С. 128.

27. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. — Т. 12. —Москва, 1981. —С. 61—95.

28. Широков А. П. Замечание о структурах в касательных расслоениях // Тр. геометр, семин: ВИНИТИ, 1974,—Т.5.—С.311 — 318.

29. Широков А. П., Вишневский В. В., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами // Казань, 1985.

30. Шурыгин В. В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами II Тр. геометрии, семин: Казань, 1984.— № 16.— С. 127—142.

31. Шустова Е. П. О связях между расслоениями Т А2, ТА2+ТА2, с (А2) и о группе Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в Т2А2 // Казань: Казанский ун-т, 1990.

32. Шустова Е. П. Связи касательного расслоения второго порядка Т2М с суммой Уитни ТМ+ТМ // Казань: Казанский ун-т, 1991.

33. Andres Luis С. de, Leon Manuel de, Rodrigues Paulo R. Connections on tangent bundles of higher order // Demonstr. Math. — 1989. — № 3. — P.607—632.

34. Bowman R. H. On differential extentions // Tensor. — 1970. —Vol.21. — № 2.—P. 139—150.

35. Bowman R. H. Second order connections // J. Different Geom. —1972. — Vol. 7. —№ 3—4. — P. 549—561.

36. Bowman R. H. Tangent bundles of higher order // Tensor. — 1988. — № 1. — P. 97— 100.

37. Catz G. Sur le fibre fangent d’ordre— 2// C.r. Acad, sei.— 1974.— № 4.— P.277—280.

38. Catz G. Sur le fibre tangent d" order deux // These doct. Univ. sei. med. Grenoble. — 1973. — P.64.

39. Doupovec Miroslav. Natural operators transforming vector fields to the second order tangent bundle // Cas. pestov. mat. — 1990. — № 1. — P. 64— 72.

40. De Leon Manuel, Vazguez Elena. On the geometry of the tangent bundle of order 2// An. Univ. Bucuresti. Mat. —1985. — V. 34. — P.40—48.

41. Ehresmann С. Les prolongements сГипе variete differentiable. I. Calcul des jets, prolongement principal. // C. R. Acad. Sci. — 1951. —№ 11. — P.598 — 600.

42. Ehresmann C. Les prolongements d’une variete differentiable. II. L’espace des jets d^ordre r de Vm dans V". //'C. R. Acad. Sci. — 1951. — № 15. — P.777 — 779.

43. Ishikawa Susumu. The infinitesimal automorphisms on the tangent bundles of order 2 // Rend. Accad. naz.XL. — 1973—1974 (1975). — V. 24—25.— P.265—274.

44. Gancarzewicz J., Kolar I. Natural affmors on the extended r-th order tangentbundles // Suppl. Rend. Circ. mat. Palermo, 1993. — № 30. — P.95 —100.

45. Gancarzewicz J., Salgado M. Horizontal lifts of tensor fields and connections on the tangent bundle of higher order // Rend. Circ. mat. Palermo, 1989. —№ 2. —P. 151—178.

46. Gancarzewicz J., Mahis. Geodesigues dans le fibre tangent d1 ordre superieur // Cah.math.Univ.d'Oran. — 1986. — №l. P.27—52.

47. Gancarzewics J., Mahis., Rahmani N. Horizontal lift of tensor fields of type (1,1) from a manifold to its tangent bundlee of higher order // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1987. — V. 36. — P.43—59.

48. Gancarzewicz J., Mahis. Geodesigues dans le fibre tangent d’order superiens // Zesz.nauk.UJ. Actamath. — 1991. — № 28. — P.231—243.

49. Garler W., Kawaguchi. Mannigfaltigkeiten und Tangential bundle hoherer Ordnung // Monatsber. D tsch. Akad. Wiss: Berlin, 1986. —V. 10.— № 6.— P.393—404.

50. Klein Tomas. Connections on higher order tangent bundles // Cas. Pestov. mat. — 1981. — V. 106.—№ 4.—P.414—421.

51. Kolar I., Michor P., Slovak J. Natural operation in differential geometry // Springer — Yerlad, 1993.

52. Kures Miroslav. Torsions of connections on tangent bundles of higher order // Rend. Circ. mat. Palermo, 1998. — № 54. — P.65—73.

53. Leon Manuel de f-structures of T2 M and connections // Kodai Math. J. — 1981. —V.4.—№ 2.—P.189—216.

54. Miron Radu, Atanasin Gheorghe. Differential geometry of the k-osculator bundle // Rev. Roum. math, puree et appl.— 1996.— V.41.—№ 3—4.— P.205—236.

55. Miron Radu, Atanasin Gheorghe. Prolondation of Riemannian, finslerian and Lagrangian structuries // Rev. Roum. Math. pures et appl.—1996. — Y. 41.—№ 3—4.— P. 237—249.

56. Morimoto Akihilco. Prolongations of Gstructures to tangent bundles of higher order // Nagoya Math. J. — 1970. —V.38.— P.153—179.

57. Morimoto Akihiko. Prolongations of connections to infinitely near points. // J. Different. Geom. — 1976. — Y. 11. — № 4. — P.479—498.

58. Morimoto Akihiko. Lifting of tensor fields and connections to tangent bundles of higher order//Nagoya Math. J. —1970.— V. 40,—P.99—120.

59. Patterson L.-N. Connections and prolongations // Canad. J. math. — 1975. — V.27. —№ 4. — P.766—791.

60. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds I //Tohoku Math. J.— 1958.—V.10.—№ 3.—P.338—354.

61. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II //Tohoku Math. J.—1962.—V. 14.— № 2.—P.146—155.

62. Sato J. Complete lifts from a manifold tangent bundle // Kodai Math. Semin. Repts.— 1968.— V.20.— № 4.— P.458—468.

63. Tong-Van-Due. Sur la geometrie differentielle du fibre tangent d’ordre 2 // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1986.—V.35.—№ 1.—P.l 18—134.

64. Vazguez-Abal Maria Elena. Harmanicity on the tangent bundle of order r // C.r. Acad. Sci. Ser. — 1991,—№ 1,—P.131—136.

65. Weil Andre. Theorie des points proches sur les varietes differentiables. Collog. Intern. Du centre national de la recherche sci 52. — Geom. Different. — Strasbourg, 1953. — P. Ill— 117.

66. Yano K., Ishihara S. Horizontal lifts of tensor fields and connections to tangent bundles // J. Math and Mech. — 1967.—V. 10.— № 9.—P. 1015— 1030.

67. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundlesdifferential geometry //New York, Dekker, 1973.

68. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. I. General theory // J. Math. Soc. Japan. — 1966. — V.18.— № 2.—P. 194—210.

69. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. II. Infinitesimal automorphisms // J. Math. Soc. Japan. — 1966.—V.18.—№ 3.—P.236—246.

70. Yano K., Ledger A. Linear connections on tangent budles // J. London Math. Soc. — 1964.— V.39.— № 3.—P.495−500.

71. Yano K., Okubo Taniro. On tangent bundles with Sasakian metrics of Finslerian and Riemannian manifolds // Ann. Mat. Рига et appl.— 1970.— V.97.—P. 137—162.

72. Yuen Christophe. Relevements de deriations aux fibres tangents d’ordre 2 //C.r. Acad. Sci. — 1976.— V.222.—№ 13.—P. 703—706.

73. Yuen Christophe. Operateurs differentiels sur les fibres tangents d’ordre 2 // C.r. Acad. Sci. — 1976.— V.282.— № 14.—P. 743—745.

74. Осьминина Н. А. Об алгебре Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта// Движения в обобщенных пространствах: Межвузовский сборник научных трудов.— Пенза: ПГПУ, 1999.— С. 102— 106.